Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ độ dài các cạnh $BA = a,$ $BC =
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ độ dài các cạnh $BA = a,$ $BC = a\sqrt{3}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABC} \right)$ và $SA = a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SB$ và $AC$ là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách dựng đường thẳng $Bx$ song song với $AC$ (với $B \in Bx$).
Khi đó $d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {A,\left( {SBx} \right)} \right)$.
Từ chân đường cao $A$, dựng hệ hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng phụ để tính toán bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABC} \right),$ kẻ đường thẳng $Bx$ song song với đường thẳng $AC.$
Do $AC \parallel Bx$ và $Bx \subset \left( {SBx} \right)$ nên đường thẳng $AC$ song song với mặt phẳng $\left( {SBx} \right).$
Mà mặt phẳng $\left( {SBx} \right)$ lại chứa đường thẳng $SB,$ do đó
$d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {AC,\left( {SBx} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBx} \right)} \right).$
Từ chân đường cao $A,$ kẻ đoạn thẳng $AK\bot Bx$ tại điểm $K$ (với $K \in Bx$), và kẻ đoạn thẳng $AH\bot SK$ tại điểm $H$ (với $H \in SK$).
Ta có: $Bx\bot AK$ và $Bx\bot SA$ (do $SA\bot\left( {ABC} \right)$)
$\left. \Rightarrow Bx\bot\left( {SAK} \right)\Rightarrow Bx\bot AH. \right.$
Vì $AH\bot SK$ và $AH\bot Bx$ nên đường thẳng $AH\bot\left( {SBx} \right)$ tại $H.$
Do đó, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng $AH.$
Để tính độ dài $AK,$ ta hạ đường cao $BI\bot AC$ tại điểm $I$ thuộc đoạn $AC.$
Do $Bx \parallel AC$ và $AK\bot Bx$ nên tứ giác $AKBI$ là hình chữ nhật, suy ra $AK = BI.$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ có đường cao $BI$ tương ứng, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$\left. \dfrac{1}{BI^{2}} = \dfrac{1}{BA^{2}} + \dfrac{1}{BC^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{\left( {a\sqrt{3}} \right)^{2}} = \dfrac{4}{3a^{2}}\Rightarrow AK = BI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. \right.$
Xét tam giác $SAK$ vuông tại đỉnh $A,$ có đường cao $AH$ tương ứng, ta có:
$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{7}{3a^{2}}.$
Suy ra $AH = \sqrt{\dfrac{3a^{2}}{7}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SB$ và $AC$ bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
