Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 2 =

Câu hỏi số 975295:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 2z - m = 0.$ Điều kiện của tham số $m$ để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $2\pi\sqrt{7}$ là

A. $m = 7$ hoặc $m = - 11.$

B. $m = 11$ hoặc $m = - 7.$

C. $m = 16$ hoặc $m = - 2.$

D. $m = 2$ hoặc $m = - 16.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975295

Phương pháp giải

Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu. Từ chu vi đường tròn giao tuyến tính ra bán kính đường tròn $r.$ Sử dụng công thức Pytago $d^{2}\left( {I,(P)} \right) + r^{2} = R^{2}$ để tìm $m.$

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} - \left( {- 2} \right)} = 4.$

Đường tròn giao tuyến có chu vi $\left. 2\pi r = 2\pi\sqrt{7}\Rightarrow r = \sqrt{7}. \right.$

Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P),$ ta có hệ thức liên hệ:

$\left. d^{2} + r^{2} = R^{2}\Rightarrow d^{2} = R^{2} - r^{2} = 4^{2} - \left( \sqrt{7} \right)^{2} = 16 - 7 = 9\Rightarrow d = 3. \right.$

Mặt khác, $d = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2 \cdot 1 + 2 - 2 \cdot 3 - m} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + \left( {- 2} \right)^{2}}} = \dfrac{\left| {- 2 - m} \right|}{3} = \dfrac{\left| {m + 2} \right|}{3}.$

Do đó ta có phương trình:

$\left. \dfrac{\left| {m + 2} \right|}{3} = 3\Leftrightarrow\left| {m + 2} \right| = 9\Leftrightarrow m + 2 = 9 \right.$ hoặc $m + 2 = - 9.$

Giải ra ta được $m = 7$ hoặc $m = -11.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.