Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

Câu hỏi số 975295:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x + y - 2z + 11 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng

A. $2\pi\sqrt{7}$.

B. $\pi\sqrt{11}$.

C. $4\pi\sqrt{7}$.

D. $2\pi\sqrt{11}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975295

Phương pháp giải

Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ từ phương trình đã cho.

Tính khoảng cách $d$ từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Tính bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến dựa vào mối liên hệ $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Tính chu vi đường tròn theo công thức $C = 2\pi r$.

Giải chi tiết

Từ phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$, ta có:

Tâm $I(1; 2; 3)$.

Bán kính $R = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 - (-2)} = \sqrt{16} = 4$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P): 2x + y - 2z + 11 = 0$ là:

$d = d(I, (P)) = \dfrac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 11|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{9}{3} = 3$.

Vì $d < R$ nên mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn.

Bán kính của đường tròn giao tuyến là: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$.

Chu vi của đường tròn giao tuyến là: $C = 2\pi r = 2\pi\sqrt{7}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.