Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn$\log_{5}\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = \log_{4}\left( {x^{2} + 2xy -

Câu hỏi số 975296:

Vận dụng

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

$\log_{5}\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = \log_{4}\left( {x^{2} + 2xy - y^{2}} \right) = \log_{3}\left( {x^{2} - 2xy + 3y^{2}} \right).$

Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{x}{y}$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975296

Phương pháp giải

Đặt các biểu thức logarit bằng tham số $t,$ mũ hóa để đưa về hệ phương trình.

Cộng các phương trình để triệt tiêu lượng chứa 2xy.

Khảo sát hàm số để chỉ ra phương trình mũ thu được có nghiệm duy nhất, từ đó thế ngược lại để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$.

Giải chi tiết

Đặt $\log_{5}\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = \log_{4}\left( {x^{2} + 2xy - y^{2}} \right) = \log_{3}\left( {x^{2} - 2xy + 3y^{2}} \right) = t.$

Ta suy ra hệ phương trình mũ sau: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} = 5^{t}\ (1)} \\ {x^{2} + 2xy - y^{2} = 4^{t}\ (2)} \\ {x^{2} - 2xy + 3y^{2} = 3^{t}\ (3)} \end{array} \right..$

Lấy phương trình $(2)$ cộng với phương trình $(3)$ được:

$\left( {x^{2} + 2xy - y^{2}} \right) + \left( {x^{2} - 2xy + 3y^{2}} \right) = 4^{t} + 3^{t}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 2x^{2} + 2y^{2} = 4^{t} + 3^{t} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = 4^{t} + 3^{t}. \right. \end{array}$

Thế phương trình $(1)$ vào biểu thức trên, ta thu được phương trình mũ:

$\left. 2 \cdot 5^{t} = 4^{t} + 3^{t}\Leftrightarrow\left( \dfrac{4}{5} \right)^{t} + \left( \dfrac{3}{5} \right)^{t} = 2. \right.$

Xét hàm số $f(t) = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{t} + \left( \dfrac{3}{5} \right)^{t} - 2$ trên ${\mathbb{R}}.$

Ta có đạo hàm: $f'(t) = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{t}\ln\left( \dfrac{4}{5} \right) + \left( \dfrac{3}{5} \right)^{t}\ln\left( \dfrac{3}{5} \right).$

Vì $\dfrac{4}{5} < 1$ và $\dfrac{3}{5} < 1$ nên $\ln\left( \dfrac{4}{5} \right) < 0$ và $\ln\left( \dfrac{3}{5} \right) < 0.$

Do đó $f'(t) < 0$ với mọi $t \in {\mathbb{R}}$, suy ra hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên ${\mathbb{R}}.$

Mà $f(0) = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{0} + \left( \dfrac{3}{5} \right)^{0} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.$

Do tính nghịch biến nên $t = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thay giá trị $t = 0$ ngược lại vào hệ phương trình ban đầu và lấy phương trình $(1)$ trừ phương trình $(2)$theo vế, ta được:

$\left( {x^{2} + y^{2}} \right) - \left( {x^{2} + 2xy - y^{2}} \right) = 1 - 1$

$\left. \Leftrightarrow 2y^{2} - 2xy = 0\Leftrightarrow 2y\left( {y - x} \right) = 0. \right.$

Vì $y$ là số thực dương ($y > 0$) nên bắt buộc $\left. y - x = 0\Leftrightarrow x = y. \right.$

Giá trị của biểu thức cần tính là $P = \dfrac{x}{y} = 1.$

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.