Trong không gian cho một khối hộp chữ nhật kín có kích thước các cạnh lần lượt là $2 \times 4

Câu hỏi số 975299:

Vận dụng

Trong không gian cho một khối hộp chữ nhật kín có kích thước các cạnh lần lượt là $2 \times 4 \times 4.$ Người ta chọn ngẫu nhiên 33 điểm nằm bên trong hoặc trên các mặt của khối hộp chữ nhật này. Gọi $d$ là giá trị nhỏ nhất sao cho luôn luôn tồn tại ít nhất $2$ điểm trong số 33 điểm đã cho có khoảng cách giữa chúng không vượt quá d. Giá trị của $d^{2}$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975299

Phương pháp giải

Chia không gian thành các phần bằng nhau để tạo ra các “chuồng”. Số lượng “chuồng” cần thiết kế sao cho nhỏ hơn số điểm (“thỏ”) được cho trong đề bài (33 điểm).

Sử dụng nguyên lí Dirichlet: Nếu có $n + 1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì luôn tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ $2$ con thỏ trở lên. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ nằm trong một khối hộp chữ nhật chính là độ dài đường chéo của khối hộp đó. Từ đó suy ra khoảng cách giữa 2 điểm nằm cùng chuồng không vượt quá độ dài đường chéo của chuồng.

Giải chi tiết

Xét khối hộp chữ nhật kín có kích thước $2 \times 4 \times 4.$

Ta tiến hành chia nhỏ khối hộp này bằng các mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp sao cho tạo thành các khối lập phương đơn vị có cạnh bằng 1.

Số lượng khối lập phương nhỏ cạnh bằng $1$ tạo thành là: $N = 2 \times 4 \times 4 = 32.$

Ta xem 32 khối lập phương nhỏ này là 32 cái "chuồng".

Theo giả thiết, ta chọn ngẫu nhiên 33 điểm trong khối hộp chữ nhật lớn, đóng vai trò là 33 con "thỏ".

Vì số điểm (33) lớn hơn số khối lập phương nhỏ (32), theo nguyên lí Dirichlet, luôn luôn tồn tại ít nhất một khối lập phương nhỏ cạnh bằng 1 chứa từ 2 điểm trở lên.

Gọi hai điểm này là $A$ và $B.$

Vì hai điểm $A$ và $B$ cùng nằm trong (hoặc trên bề mặt) của một khối lập phương nhỏ có cạnh bằng 1, nên khoảng cách giữa chúng không thể vượt quá độ dài đường chéo lớn của khối lập phương nhỏ đó.

Độ dài đường chéo của khối lập phương cạnh bằng 1 được tính theo công thức $D = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}.$

Do đó khoảng cách AB luôn thỏa mãn $AB \leq \sqrt{3}.$

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất $d$ để luôn tồn tại 2 điểm có khoảng cách không vượt quá $d$ chính là $d = \sqrt{3}.$

Vậy $d^{2} = 3.$

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.