Cho hàm số $y = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 12mx + 1.$ Điều kiện của tham số $m$ để

Câu hỏi số 975300:

Vận dụng

Cho hàm số $y = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 12mx + 1.$ Điều kiện của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1} = 5x_{2}$ là

A. $\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 5} \\ {m = \dfrac{1}{5}} \end{array} \right..$

B. $\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 2} \\ {m = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right..$

C. $m = \pm 1.$

D. $\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 5} \\ {m = 1} \end{array} \right..$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975300

Phương pháp giải

Tính đạo hàm y', tìm điều kiện để $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Kết hợp hệ thức đã cho với định lý Viete để lập hệ phương trình, giải tìm $m$ và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

Hàm số $y = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 12mx + 1$

Đạo hàm $y' = 3x^{2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 12m = 0$$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0. \right.$

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}.$

Điều kiện: $\Delta' = \left( {m + 1} \right)^{2} - 4m = m^{2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \neq 1.$

Theo định lý Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2m + 2\ (1)} \\ {x_{1}x_{2} = 4m\ (2)} \end{array} \right..$

Kết hợp với điều kiện bài ra $x_{1} = 5x_{2}\ (3).$

Thay $(3)$ vào $(1),$ ta được: $\left. 5x_{2} + x_{2} = 2m + 2\Leftrightarrow 6x_{2} = 2m + 2\Leftrightarrow x_{2} = \dfrac{m + 1}{3}. \right.$

Suy ra $x_{1} = \dfrac{5\left( {m + 1} \right)}{3}.$ Thay $x_{1},x_{2}$ vào $(2),$ ta được: $\dfrac{5\left( {m + 1} \right)}{3} \cdot \dfrac{m + 1}{3} = 4m$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\dfrac{5\left( {m + 1} \right)^{2}}{9} = 4m \right. \left. \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right)^{2} = 36m \right. \\ \left. \Leftrightarrow 5m^{2} - 26m + 5 = 0 \right. \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 5} \text{ (TM)} \\ {m = \dfrac{1}{5}} \text{ (TM)} \end{array} \right.. \right. \end{array}$

Vậy $m = 5$ hoặc $m = \dfrac{1}{5}.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.