Cho tam giác $ABC$ nhọn có độ dài cạnh $BC = a$ cố định. Giá trị lớn nhất của biểu thức $S

Câu hỏi số 975301:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn có độ dài cạnh $BC = a$ cố định. Giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \sin A + \sin B + \sin C$ khi tam giác $ABC$ thay đổi thay đổi nhưng luôn nội tiếp một đường tròn bán kính $R$ cố định có dạng $k\sqrt{3},\ k$ là phân số dương tối giản. Khi đó giá trị của k là?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3/2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975301

Phương pháp giải

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để thu gọn $\sin B + \sin C.$

Kết hợp đẳng thức lượng giác $\sin A = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$ để đưa biểu thức về một hàm số.

Khảo sát hàm số nhằm suy ra giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có biểu thức: $S = \sin A + \sin B + \sin C.$

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

$\sin B + \sin C = 2\sin\left( \dfrac{B + C}{2} \right)\cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right).$

Vì $\left. A + B + C = 180^{{^\circ}}\Rightarrow\dfrac{B + C}{2} = 90^{{^\circ}} - \dfrac{A}{2}. \right.$

Do đó: $\sin\left( \dfrac{B + C}{2} \right) = \sin\left( {90^{{^\circ}} - \dfrac{A}{2}} \right) = \cos\dfrac{A}{2}.$

Suy ra: $\sin B + \sin C = 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right).$

Mặt khác, ta khai triển: $\sin A = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}.$

Suy ra $S = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} + 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right) = 2\cos\dfrac{A}{2}\left\lbrack {\sin\dfrac{A}{2} + \cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right)} \right\rbrack.$

Vì tam giác $ABC$ nhọn nên $\cos\dfrac{A}{2} > 0.$

Mặt khác, ta luôn có $\cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right) \leq 1.$

Do đó: $S \leq 2\cos\dfrac{A}{2}\left( {\sin\dfrac{A}{2} + 1} \right) = 2\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{A}{2} + 2\cos\dfrac{A}{2}.$

Đặt $\left. \cos\dfrac{A}{2} = t\Rightarrow\sin\dfrac{A}{2} = \sqrt{1 - t^{2}} \in \left( {0;1} \right). \right.$

Vậy $S \leq 2t\sqrt{1 - t^{2}} + 2t.$

Khảo sát hàm số $\left. f(t) = 2t\sqrt{1 - t^{2}} + 2t\Rightarrow f'(t) = \dfrac{2 - 4t^{2}}{\sqrt{1 - t^{2}}} + 2. \right.$

Khi đó $\left. f'(t) = 0\Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \in \left( {0;1} \right). \right.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left. \cos\left( \dfrac{B - C}{2} \right) = 1\Leftrightarrow B = C \right.$ và $\left. \cos\dfrac{A}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\dfrac{A}{2} = 30^{{^\circ}}\Leftrightarrow A = 60^{{^\circ}}. \right.$

Suy ra $A = B = C = 60^{{^\circ}}$ (tam giác $ABC$ đều).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $S$ là $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án cần điền là: 3/2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.