Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình

Câu hỏi số 975302:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình bên dưới.

Đặt hàm số $g(x) = f\left( {1 + m - x} \right) + \dfrac{x^{2}}{2} - x - mx$, $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left\lbrack {- 2026;0} \right\rbrack$ để hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {- 2;0} \right)$?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2022

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975302

Phương pháp giải

Tính đạo hàm $g'(x)$ và lập luận điều kiện nghịch biến $g'(x) \leq 0$.

Đặt ẩn phụ để đưa về bài toán tương giao đồ thị giữa hàm số $y = f'(t)$ và đường thẳng $y = - t$.

Từ đó tìm tập hợp các khoảng nghịch biến của hàm số theo tham số $m$ và giải điều kiện chứa tập hợp.

Giải chi tiết

Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là: $g'(x) = - f'\left( {m + 1 - x} \right) + x - 1 - m.$

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi: $\left. g'(x) \leq 0\Leftrightarrow f'\left( {m + 1 - x} \right) \geq x - 1 - m. \right.$

Đặt $t = m + 1 - x$, bất phương trình trên trở thành: $f'(t) \geq - t.$

Từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ và đồ thị hàm số $y = - x$, ta thấy đường thẳng $y = - x$ cắt đồ thị hàm số $f'(x)$ lần lượt tại ba điểm có hoành độ là $x = - 3$, $x = 1$, và $x = 3.$

Quan sát đồ thị, ta thấy phần đồ thị hàm số $f'(t)$ nằm phía trên đường thẳng $y = - t$ tương ứng với:

$\left. \left\lbrack \begin{array}{l} {t \leq - 3} \\ {1 \leq t \leq 3} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m + 1 - x \leq - 3} \\ {1 \leq m + 1 - x \leq 3} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x \geq 4 + m} \\ {- 2 + m \leq x \leq m} \end{array} \right.. \right.$

Suy ra hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( {4 + m; + \infty} \right)$ và $\left( {- 2 + m;m} \right).$

Để hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {- 2;0} \right)$ thì khoảng $\left( {- 2;0} \right)$ phải là tập con của các khoảng nghịch biến trên, tương ứng với các trường hợp:

$\left. \left\lbrack \begin{array}{l} {4 + m \leq - 2} \\ \left\{ \begin{array}{l} {- 2 + m \leq - 2} \\ {m \geq 0} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m \leq - 6} \\ \left\{ \begin{array}{l} {m \leq 0} \\ {m \geq 0} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m \leq - 6} \\ {m = 0} \end{array} \right.. \right.$

Vì $m$ là số nguyên và $m \in \left\lbrack {- 2026;0} \right\rbrack$ nên ta có tập hợp các giá trị của $m$ thỏa mãn là:

$m \in \left\{ {- 2026; - 2019; - 2018;\ldots; - 6} \right\} \cup \left\{ 0 \right\}.$

Số lượng các giá trị nguyên của $m$ là: $\left\lbrack {\left( {- 6} \right) - \left( {- 2026} \right)} \right\rbrack + 1 + 1 = 2022.$

Đáp án cần điền là: 2022

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.