Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2}

Câu hỏi số 975303:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} = 9$ và điểm $A\left( {1;2;11} \right).$ Một điểm $M$ thay đổi di chuyển trên mặt cầu $(S).$ Độ dài đoạn thẳng AM là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975303

Phương pháp giải

Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến tâm $I$ để kiểm tra vị trí tương đối.

Khi điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu, độ dài $AM$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $AI$ với mặt cầu $(S).$

Công thức tính là $AM_{\min} = AI - R.$

Giải chi tiết

Từ phương trình mặt cầu $(S)$, ta có tâm là điểm $I\left( {1;2;2} \right)$ và bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3.$

Tính độ dài đoạn thẳng nối từ điểm $A\left( {1;2;11} \right)$ đến tâm $I\left( {1;2;2} \right)$ của mặt cầu:

$AI = \sqrt{\left( {1 - 1} \right)^{2} + \left( {2 - 2} \right)^{2} + \left( {2 - 11} \right)^{2}} = 9.$

Nhận thấy $AI = 9 > R = 3$, chứng tỏ điểm $A$ nằm hoàn toàn bên ngoài mặt cầu $(S).$

Gọi $M$ là một điểm bất kỳ nằm trên mặt cầu $(S).$

Theo bất đẳng thức tam giác cho ba điểm $A,M,I$, ta luôn có hệ thức sau:

$\left. AM + MI \geq AI\Rightarrow AM \geq AI - MI. \right.$

Vì điểm $M$ thuộc mặt cầu nên độ dài đoạn $MI = R = 3.$

Do đó: $AM \geq 9 - 3 = 6.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm $A,M,I$ thẳng hàng theo đúng thứ tự đó, nghĩa là điểm $M$ chính là giao điểm của đoạn thẳng $AI$ với mặt cầu $(S).$

Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ bằng 6.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.