Người ta đặt một khối đá hình cầu vào một chiếc thùng có chiều cao 25 dm, sao cho khối đá

Câu hỏi số 975307:

Vận dụng

Người ta đặt một khối đá hình cầu vào một chiếc thùng có chiều cao 25 dm, sao cho khối đá đó tiếp xúc với bề mặt trong và mặt phẳng nắp của thùng đó. Mặt cắt vuông góc được minh họa như sau:

Biết rằng trong mặt cắt này, bề mặt trong của thùng là một parabol, điểm tiếp xúc M thuộc nửa dưới của mặt cầu có tọa độ $\left( {2\sqrt{5};20} \right).$ Giả sử phần không gian còn lại bên trong của thùng được bơm đầy nước, khi đó thể tích nước trong thùng là $k\pi\ \left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right).$ Giá trị của $k$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 191

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975307

Phương pháp giải

Viết hàm số mô tả parabol và nửa dưới của đường tròn trong mặt cắt.

Hai đường cong $y_{1},\ y_{2}$ tiếp xúc khi $\left\{ \begin{array}{l} {y_{1} = y_{2}} \\ {{y'}_{1} = {y'}_{2}} \end{array} \right..$

Hệ này nhận $x = 2\sqrt{5}$ là nghiệm, từ đó tìm được tâm và bán kính của đường tròn trong mặt cắt.

Tính thể tích khối cầu bằng $\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$ và thể tích khối tròn xoay quanh Oy theo công thức $\pi{\int\limits_{a}^{b}{x^{2}dy}}.$

Từ đó suy ra thể tích nước.

Giải chi tiết

Giả sử đường tròn trong mặt cắt có tâm $I\left( {0;b} \right),$ bán kính $R.$

Khi đó đường tròn có phương trình: $\left. x^{2} + \left( {y - b} \right)^{2} = R^{2}\Leftrightarrow y - b = \pm \sqrt{R^{2} - x^{2}}. \right.$

Nửa dưới của đường tròn được mô tả bởi hàm số: $y = b - \sqrt{R^{2} - x^{2}}.$

Phương trình của parabol là $y = ax^{2} + bx + c,$ mà parabol đi qua $\left( {2\sqrt{5};20} \right),\ \left( {0;0} \right)$ nên đó là $y = x^{2}.$

Hai đường cong này tiếp xúc với nhau nên: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {y_{1} = y_{2}} \\ {{y'}_{1} = {y'}_{2}} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b - \sqrt{R^{2} - x^{2}} = x^{2}} \\ {\dfrac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} = 2x} \end{array} \right.. \right.$

Hệ này nhận $x = 2\sqrt{5}$ là nghiệm nên

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {b - \sqrt{R^{2} - 20} = 20} \\ {\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{R^{2} - 20}} = 2 \cdot 2\sqrt{5}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b - \dfrac{1}{2} = 20} \\ {\sqrt{R^{2} - 20} = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b = \dfrac{41}{2}} \\ {R = \dfrac{9}{2}} \end{array} \right.. \right.$

Thể tích khối cầu là $\dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3}\pi\left( \dfrac{9}{2} \right)^{3} = \dfrac{243}{2}\pi.$

Thể tích thùng là $\pi{\int\limits_{0}^{25}{x^{2}dy}} = \pi{\int\limits_{0}^{25}{ydy}} = \dfrac{625}{2}\pi.$

Thể tích nước là $\dfrac{625}{2}\pi - \dfrac{243}{2}\pi = 191\pi.$

Đáp án cần điền là: 191

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.