Xuất phát từ một tam giác đều $A_{0}B_{0}C_{0}$ diện tích $S_{0}$ ban đầu, thực hiện quy trình

Câu hỏi số 975308:

Vận dụng

Xuất phát từ một tam giác đều $A_{0}B_{0}C_{0}$ diện tích $S_{0}$ ban đầu, thực hiện quy trình như sau:

Bước 1: Nối trung điểm 3 cạnh để tạo thành 4 tam giác đều nhỏ bằng nhau. Ta xóa bỏ tam giác đều ở chính giữa. Lúc này hình còn lại 3 tam giác đều nhỏ.

Bước 2: Tiếp tục lặp lại thao tác trên với từng tam giác trong 3 tam giác còn lại. Mỗi tam giác bị xóa bỏ mất 1 phần có dạng tam giác đều ở chính giữa.

không xác định

Quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Khi đó phần diện tích còn lại (màu xanh trong hình minh họa) là

A. $\dfrac{S_{0}}{3}.$

B. $\dfrac{S_{0}}{4}.$

C. $\dfrac{3S_{0}}{4}.$

D. 0.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975308

Phương pháp giải

Khi số bước $n$ tiến ra vô hạn, tổng diện tích bị xóa chính là tổng của vô hạn các phần diện tích bị mất đi ở mỗi bước.

Thiết lập cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng phần diện tích bị xóa theo công thức $\dfrac{u_{1}}{1 - q}\ \left( {|q| < 1} \right),$ từ đó suy ra phần diện tích còn lại.

Giải chi tiết

Gọi $\Delta S_{i}$ là phần diện tích bị xóa ở bước thứ i.

Suy ra $L = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}S_{n} = \Delta S_{1} + \Delta S_{2} + \Delta S_{3} + \ldots + \Delta S_{n} + \ldots$

Ở bước 1, có 1 tam giác bị xóa mất $\dfrac{1}{4}$ diện tích ban đầu. Do đó $\Delta S_{1} = \dfrac{1}{4}S_{0}.$

Ở bước 2, có 3 tam giác bị xóa mất $\dfrac{1}{4}$ diện tích so với phần đã bị xóa. Do đó $\Delta S_{2} = 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4}S_{0} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4}S_{0}.$

Tương tự, ta thu được ở bước i, $\Delta S_{i} = \left( \dfrac{3}{4} \right)^{i - 1} \cdot \dfrac{1}{4}S_{0}.$ Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $\dfrac{1}{4}S_{0},$ công bội bằng $\dfrac{3}{4}.$

Vậy $L = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}S_{n} = \Delta S_{1} + \Delta S_{2} + \Delta S_{3} + \ldots + \Delta S_{n} + \ldots = \dfrac{\dfrac{1}{4}S_{0}}{1 - \dfrac{3}{4}} = S_{0}.$

Vậy diện tích phần còn lại là $S_{0} - S_{0} = 0.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.