Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là kilômét), một trạm radar quân

Câu hỏi số 975309:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là kilômét), một trạm radar quân sự được đặt tại gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right).$ Một thiết bị bay di chuyển theo một đường thẳng, xuất phát từ điểm $A\left( {675; - 1500;0} \right)$ đến điểm $B\left( {660; - 1468;1} \right)$ với vận tốc không đổi là $900\text{~km/h}.$ Thiết bị bay chủ động bật thiết bị gây nhiễu sóng tạo ra một vùng bảo vệ hình cầu xung quanh thiết bị bay với bán kính nhiễu là $R' = 75\text{~km}.$ Khi vùng nhiễu này chạm vào bề mặt vùng phủ sóng của radar thì radar sẽ lập tức mất hoàn toàn tín hiệu của thiết bị bay. Độ cao của thiết bị bay tại thời điểm radar bắt đầu mất tín hiệu là

A. 50 km.

B. 45 km.

C. 67 km.

D. 54 km.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975309

Phương pháp giải

Lập phương trình tham số của đường thẳng mô tả chuyển động của thiết bị bay dựa vào điểm xuất phát $A$ và vectơ chỉ phương từ $\overset{\rightarrow}{AB}.$

Chú ý chuẩn hóa vectơ chỉ phương theo vận tốc $900\text{~km/h}.$

Thiết bị bay không được radar ghi nhận khi khoảng cách đến tâm $O$ bằng bán kính $R' = 75\text{~km}.$

Thay các tọa độ được tham số hóa vào phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 75^{2}$ để giải ẩn thời gian $t.$

Giải chi tiết

Vectơ hướng dịch chuyển từ $A$ đến $B$ là: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 15;32;1} \right).$

Độ dài đoạn $AB = \sqrt{{( - 15)}^{2} + 32^{2} + 1^{2}} = \sqrt{225 + 1024 + 1} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\text{~km}.$

Vì thiết bị bay bay với vận tốc $v = 900\text{~km/h}$ nên vectơ vận tốc $\overset{\rightarrow}{v}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{AB}$ và có độ dài bằng 900.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{v} = \dfrac{900}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} = \dfrac{900}{25\sqrt{2}} \cdot \left( {- 15;32;1} \right) = 18\sqrt{2} \cdot \left( {- 15;32;1} \right) = \left( {- 270\sqrt{2};576\sqrt{2};18\sqrt{2}} \right).$

Phương trình tọa độ của thiết bị bay tại thời điểm $t$ (giờ, $t \geq 0$) tính từ vị trí $A$ là:

$\left\{ \begin{array}{l} {x = 675 - 270\sqrt{2}t} \\ {y = - 1500 + 576\sqrt{2}t} \\ {z = 18\sqrt{2}t} \end{array} \right.$

Theo dữ kiện bài toán, tín hiệu mất hẳn khi máy bay đi vào vùng lõi có khoảng cách tới trạm radar bằng bán kính nhiễu $R' = 75\text{~km}.$

Ta thiết lập phương trình mặt cầu: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 75^{2}.$

Thay vào ta có:

$\left( {675 - 270\sqrt{2}t} \right)^{2} + \left( {- 1500 + 576\sqrt{2}t} \right)^{2} + \left( {18\sqrt{2}t} \right)^{2} = 75^{2}.$

$\left. \Leftrightarrow 810000t^{2} - 2092500\sqrt{2}t + 27\text{0000}0 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = \dfrac{5\sqrt{2}}{4}} \\ {t = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}} \end{array} \right.. \right.$

Độ cao của thiết bị bay tại thời điểm radar bắt đầu mất tín hiệu là ứng với mốc thời gian $t = \dfrac{5\sqrt{2}}{4}.$

Khi đó $z = 18\sqrt{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{4} = 45\ \left( \text{km} \right).$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.