Số giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + m$ cắt trục

Câu hỏi số 975326:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A. 27.

B. 33.

C. 26.

D. 31.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975326

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Cô lập tham số $m$, đưa phương trình về dạng $m = f(x)$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ và lập bảng biến thiên.

Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của $m$ sao cho đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 3 điểm phân biệt (tức là $m$ nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại).

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

$\left. x^{3} - 3x^{2} - 9x + m = 0\Leftrightarrow m = - x^{3} + 3x^{2} + 9x \right.$

Xét hàm số $f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 9x$ trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'(x) = - 3x^{2} + 6x + 9$.

Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow - 3x^{2} + 6x + 9 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array} \right. \right.$.

Tính các giá trị cực trị:

$f( - 1) = - {( - 1)}^{3} + 3{( - 1)}^{2} + 9( - 1) = - 5$.

$f(3) = - 3^{3} + 3{(3)}^{2} + 9(3) = 27$.

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 3 điểm phân biệt.

Dựa vào giá trị cực trị, điều kiện là: $- 5 < m < 27$.

Vì $m \in {\mathbb{Z}}$ nên $m \in \left\{ - 4; - 3; - 2;...;25;26 \right\}$.

Số giá trị nguyên của tham số $m$ là: $26 - ( - 4) + 1 = 31$ giá trị.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.