Cho hàm số $f(x) = a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b\sin x + 6$ với $a,b \in {\mathbb{R}}$. Biết $f\lbrack\log(\log

Câu hỏi số 975328:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b\sin x + 6$ với $a,b \in {\mathbb{R}}$. Biết $f\lbrack\log(\log e)\rbrack = 2$, tính giá trị của biểu thức $T = f\lbrack\log(\ln 10)\rbrack + 2$.

A. 8.

B. 10.

C. 14.

D. 12.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975328

Phương pháp giải

Đặt hàm số phụ $g(x) = f(x) - 6 = a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b\sin x$.

Xét tính chẵn lẻ của hàm số $g(x)$ bằng cách tính $g( - x)$ để tìm mối liên hệ giữa $g(x)$ và $g( - x)$, từ đó suy ra mối liên hệ giữa $f(x)$ và $f( - x)$.

Sử dụng công thức đổi cơ số logarit để tìm mối liên hệ giữa hai giá trị biến số $\log(\log e)$ và $\log(\ln 10)$.

Thay giá trị tương ứng vào để tính biểu thức $T$.

Giải chi tiết

Đặt $g(x) = a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b\sin x$. Ta có tập xác định của $g(x)$ là $D = {\mathbb{R}}$.

Xét $g( - x) = a\ln( - x + \sqrt{{( - x)}^{2} + 1}) + b\sin( - x)$

$= a\ln(\sqrt{x^{2} + 1} - x) - b\sin x$

$= a\ln\left( \dfrac{(\sqrt{x^{2} + 1} - x)(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} \right) - b\sin x$

$= a\ln\left( \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} \right) - b\sin x$

$= a\ln{(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{- 1} - b\sin x$

$= - a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) - b\sin x = - g(x)$.

Vậy $g(x)$ là hàm số lẻ, suy ra $g(x) + g( - x) = 0$ với mọi $x$.

Mặt khác, ta có $f(x) = g(x) + 6$.

Suy ra $f(x) + f( - x) = g(x) + 6 + g( - x) + 6 = 12$ với mọi $x$. (1)

Bây giờ xét hai biến số:

Đặt $x_{1} = \log(\log e)$. Ta có biến số thứ hai là $x_{2} = \log(\ln 10)$.

Theo công thức đổi cơ số: $\ln 10 = \log_{e}10 = \dfrac{1}{\log_{10}e} = \dfrac{1}{\log e} = {(\log e)}^{- 1}$.

Do đó: $x_{2} = \log(\ln 10) = \log({(\log e)}^{- 1}) = - \log(\log e) = - x_{1}$.

Theo giả thiết: $f(x_{1}) = 2$.

Áp dụng hệ thức (1) với $x = x_{1}$, ta có:

$f(x_{1}) + f( - x_{1}) = 12$

$\left. \Leftrightarrow 2 + f(x_{2}) = 12\Leftrightarrow f(x_{2}) = 10 \right.$.

Khi đó $T = f(x_{2}) + 2 = 10 + 2 = 12$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.