Một tờ giấy có dạng hình chữ nhật ABCD, $AB = 20\text{~cm}$, $AD \geq 25\text{~cm}$. Gọi M, N là các

Câu hỏi số 975329:

Vận dụng

Một tờ giấy có dạng hình chữ nhật ABCD, $AB = 20\text{~cm}$, $AD \geq 25\text{~cm}$. Gọi M, N là các điểm tùy ý lần lượt nằm trên cạnh AB, BC. Gấp tờ giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng MN sao cho đỉnh B chạm vào mép AD của tờ giấy (tham khảo hình vẽ). Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN gần nhất với

A. 21,2 cm.

B. 26,0 cm.

C. 23,8 cm.

D. 25,9 cm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975329

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đối xứng của phép gấp hình.

Đặt ẩn là các đoạn thẳng nhỏ, thiết lập hàm số biểu diễn bình phương độ dài nếp gấp MN theo ẩn đó thông qua định lý Pythagore.

Khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của MN.

Giải chi tiết

Gọi E là điểm thuộc mép AD mà đỉnh B chạm vào khi gấp giấy.

Khi gấp tờ giấy theo nếp gấp MN, $\Delta MBN$ đối xứng với $\Delta MEN$ qua MN.

Suy ra $ME = MB$, $NE = NB$ và MN là đường trung trực của BE.

Đặt $BM = x$ ($0 < x \leq 20$), $BN = y$ ($y > 0$). Từ đó suy ra $ME = x$, $NE = y$.

Ta có $AM = AB - BM = 20 - x$.

Xét $\Delta AME$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore ta có:

$AE = \sqrt{ME^{2} - AM^{2}} = \sqrt{x^{2} - {(20 - x)}^{2}} = \sqrt{40x - 400}$.

(Điều kiện để có $\Delta AME$ là $\left. 40x - 400 > 0\Leftrightarrow x > 10 \right.$)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên AD, khi đó tứ giác ABNH là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông).

Ta có $NH = AB = 20$ và $AH = BN = y$.

Suy ra $EH = \left| {AH - AE} \right| = \left| {y - \sqrt{40x - 400}} \right|$.

Xét $\Delta EHN$ vuông tại $H$, theo định lý Pythagore ta có: $NE^{2} = EH^{2} + HN^{2}$.

Thay các biểu thức đã tính vào ta được:

$y^{2} = {(y - \sqrt{40x - 400})}^{2} + 20^{2}$

$\left. \Leftrightarrow y^{2} = y^{2} - 2y\sqrt{40x - 400} + (40x - 400) + 400 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2y\sqrt{40x - 400} = 40x \right.$

$\left. \Leftrightarrow y\sqrt{10x - 100} = 10x\Leftrightarrow y = \dfrac{10x}{\sqrt{10x - 100}} \right.$.

Độ dài nếp gấp MN được tính bởi: $MN = \sqrt{MB^{2} + NB^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Ta xét hàm số biểu diễn $MN^{2}$:

$f(x) = x^{2} + y^{2} = x^{2} + \dfrac{100x^{2}}{10x - 100} = x^{2} + \dfrac{10x^{2}}{x - 10} = \dfrac{x^{3}}{x - 10}$ với $x \in (10;20\rbrack$.

$f'(x) = \dfrac{3x^{2}(x - 10) - x^{3} \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}} = \dfrac{2x^{3} - 30x^{2}}{{(x - 10)}^{2}} = \dfrac{2x^{2}(x - 15)}{{(x - 10)}^{2}}$.

Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 15 \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 15$.

Khi đó, $\min f(x) = f(15) = \dfrac{15^{3}}{15 - 10} = \dfrac{3375}{5} = 675$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của MN là $\sqrt{675} = 15\sqrt{3} \approx 25,98\text{~cm}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.