Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{x - 7\sqrt{x} -

Câu hỏi số 976012:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 12}{x - 9}$ với $x > 0,x \neq 9$.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 25$.

2) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$.

3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976012

Phương pháp giải

1) Thay giá trị $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ và tính.

2) Quy đồng mẫu số biểu thức $B$ với mẫu chung là $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$ và rút gọn.

3) Tính $P = A.B$, biến đổi $P$ về dạng $a + \dfrac{b}{f(x)}$ và tìm điều kiện để $P$ nguyên.

Giải chi tiết

1) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,x \neq 9$) vào biểu thức A, ta có:

$A = \dfrac{\sqrt{25} - 4}{\sqrt{25}} = \dfrac{5 - 4}{5} = \dfrac{1}{5}$.

Vậy giá trị A là $\dfrac{1}{5}$ khi $x = 25$.

2) Với $x > 0,x \neq 9$, ta có: $B = \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 12}{x - 9}$

$B = \dfrac{4(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} + \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \dfrac{4\sqrt{x} + 12 + x - 7\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \dfrac{x - 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ (điều phải chứng minh).

3) Ta có:

$P = A.B = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 3}$ (với $x > 0,x \neq 9$).

$P = \dfrac{\sqrt{x} + 3 - 7}{\sqrt{x} + 3} = 1 - \dfrac{7}{\sqrt{x} + 3}$.

Vì $x > 0$ nên $\sqrt{x} > 0$, suy ra $\sqrt{x} + 3 > 3$.

Khi đó $0 < \dfrac{7}{\sqrt{x} + 3} < \dfrac{7}{3}$.

Để P nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{7}{\sqrt{x} + 3}$ phải nhận giá trị nguyên.

Hay $\dfrac{7}{\sqrt{x} + 3} \in \left\{ 1;2 \right\}$.

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l} {\dfrac{7}{\sqrt{x} + 3} = 1} \\ {\sqrt{x} + 3 = 7} \\ {\sqrt{x} = 4} \end{array}$

$x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l} {\dfrac{7}{\sqrt{x} + 3} = 2} \\ {\sqrt{x} + 3 = \dfrac{7}{2}} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}} \end{array}$

$x = \dfrac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy các giá trị x cần tìm là $x = 16$ và $x = \dfrac{1}{4}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link