Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Dựa vào thông tin sau, trả lời các câu hỏi sauCho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông

Dựa vào thông tin sau, trả lời các câu hỏi sau

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$. Tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:976199
Phương pháp giải

Sử dụng định lý về hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Giải chi tiết

Ta có $(SAB) \perp (ABCD)$ và giao tuyến của hai mặt phẳng là $(SAB) \cap (ABCD) = AB$.

Trong mặt phẳng $(SAB)$, tam giác $SAB$ là tam giác đều.

Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên đường trung tuyến $SH$ đồng thời là đường cao, suy ra $SH \perp AB$.

Áp dụng định lý trên, ta suy ra $SH \perp (ABCD)$.

Vậy hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ chính là điểm $H$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Thông hiểu

Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:976200
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$.

Giải chi tiết

Diện tích đáy (hình vuông cạnh $2a$) là: $S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2$.

Chiều cao của khối chóp chính là đoạn $SH$. Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ nên độ dài đường cao là: $SH = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Thể tích khối chóp là: $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 4a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Thông hiểu

Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:976201
Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tỉ số khoảng cách để chuyển việc tính khoảng cách từ điểm $C$ về điểm $A$, sau đó tiếp tục chuyển từ điểm $A$ về chân đường cao $H$.

Kẻ các đường phụ để xác định hình chiếu từ $H$ lên mặt phẳng $(SBD)$ và tính toán thông qua hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$, ta có $O$ là trung điểm của $AC$.

Vì $O \in (SBD)$ nên khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$:

$d(C; (SBD)) = d(A; (SBD))$.

Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ tại $B$. So sánh khoảng cách từ $A$ và $H$ tới mặt phẳng $(SBD)$, ta có tỉ số:

$\dfrac{d(A; (SBD))}{d(H; (SBD))} = \dfrac{AB}{HB} = 2 \Rightarrow d(A; (SBD)) = 2 \cdot d(H; (SBD))$.

Từ điểm $H$, kẻ đường thẳng $HK \perp BD$ tại $K$.

Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $AO \perp BD$. Xét tam giác $ABO$ có $H$ là trung điểm $AB$ và $HK \parallel AO$, suy ra $HK$ là đường trung bình của tam giác, do đó $HK = \dfrac{1}{2}AO$.

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $2a$ là $AC = 2a\sqrt{2} \Rightarrow AO = a\sqrt{2}$. Suy ra $HK = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Từ $H$, kẻ tiếp $HI \perp SK$ tại $I$.

Ta có $BD \perp HK$ và $BD \perp SH$ (do $SH \perp (ABCD)$), suy ra $BD \perp (SHK) \Rightarrow BD \perp HI$.

Vì $HI \perp SK$ và $HI \perp BD$ nên ta có $HI \perp (SBD)$. Khoảng cách cần tìm chính là đoạn $HI$: $d(H; (SBD)) = HI$.

Xét tam giác vuông $SHK$ vuông tại $H$, đường cao $HI$, áp dụng hệ thức lượng ta có:

$\dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{(a\sqrt{3})^2} + \dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{3a^2} + \dfrac{2}{a^2} = \dfrac{7}{3a^2}$

$\Rightarrow HI^2 = \dfrac{3a^2}{7} \Rightarrow HI = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.

Vậy khoảng cách cần tìm là: $d(C; (SBD)) = d(A; (SBD)) = 2 \cdot HI = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →