Cho phương trình $3^x + x = y + \log_3 y$ với $x, y \in \mathbb{N}^*$ và $y \le 100$. Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 976309:

Vận dụng

Cho phương trình $3^x + x = y + \log_3 y$ với $x, y \in \mathbb{N}^*$ và $y \le 100$. Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn bài toán?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976309

Phương pháp giải

Nhận diện cấu trúc của phương trình để áp dụng phương pháp hàm đặc trưng. Bằng cách đặt ẩn phụ $t = \log_3 y$, ta biến đổi phương trình về dạng $f(x) = f(t)$.

Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $f(u) = 3^u + u$ bằng đạo hàm để chứng minh hàm luôn đồng biến, từ đó suy ra $x = t$.

Biểu diễn $y$ theo $x$ và kết hợp với các điều kiện giới hạn của đề bài để tìm các giá trị nguyên thỏa mãn.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định của logarit: $y > 0$. Do $y \in \mathbb{N}^*$ nên điều kiện này luôn thỏa mãn.

Đặt $\log_3 y = t \Leftrightarrow y = 3^t$.

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

$3^x + x = 3^t + t \quad (*)$

Xét hàm số đặc trưng $f(u) = 3^u + u$ trên tập xác định $\mathbb{R}$.

Đạo hàm: $f'(u) = 3^u \ln 3 + 1$.

Vì $3^u > 0$ và $\ln 3 > 0$ với mọi $u \in \mathbb{R}$, nên $f'(u) > 0, \forall u \in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số $f(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó, phương trình $(*)$ tương đương với:

$f(x) = f(t) \Leftrightarrow x = t$.

Trở lại với biến $y$, ta có:

$x = \log_3 y \Leftrightarrow y = 3^x$.

Theo giả thiết, ta có hệ điều kiện:

$\begin{cases} x, y \in \mathbb{N}^* \\ y \le 100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in \mathbb{N}^* \\ 3^x \le 100 \end{cases}$

Vì $x \in \mathbb{N}^*$ (tức là $x \ge 1$ và $x$ nguyên), ta lần lượt kiểm tra các giá trị của $x$:

Với $x = 1 \Rightarrow y = 3^1 = 3 \le 100$ (Thỏa mãn)

Với $x = 2 \Rightarrow y = 3^2 = 9 \le 100$ (Thỏa mãn)

Với $x = 3 \Rightarrow y = 3^3 = 27 \le 100$ (Thỏa mãn)

Với $x = 4 \Rightarrow y = 3^4 = 81 \le 100$ (Thỏa mãn)

Với $x = 5 \Rightarrow y = 3^5 = 243 > 100$ (Không thỏa mãn)

Vậy tập các giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x \in \{1; 2; 3; 4\}$.

Có tất cả $4$ giá trị của $x$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.