Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\begin{cases}

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\begin{cases} u_1 = 2027 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n \end{cases}$

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Cho $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Giá trị của $\lim S_n$ là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:976374
Phương pháp giải

Nhận diện dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$ (với $\vert{}q\vert{} < 1$).

Giải chi tiết

Từ giả thiết $\begin{cases} u_1 = 2027 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n \end{cases}$, ta suy ra $(u_n)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1 = 2027$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ khi $n \to +\infty$ chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này.

Do đó:

$\lim S_n = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{2027}{1 - \dfrac{1}{2}} = 4054$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Đặt $v_n = \dfrac{2u_n + 3}{u_n}$, $L = \lim \left[ \dfrac{4}{n^2} (v_1 + 2v_2 + \dots + nv_n) \right]$. Giá trị của $L$ là

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:976375
Phương pháp giải

Xác định công thức số hạng tổng quát của $u_n$, từ đó suy ra $v_n$.

Tính tổng $T = v_1 + 2v_2 + \dots + n v_n$ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp hoặc dùng cấp số cộng - cấp số nhân kết hợp.

Tính giới hạn dựa vào quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé / so sánh bậc của hàm mũ và hàm đa thức.

Giải chi tiết

Vì $(u_n)$ là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1 = 2027$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$ nên số hạng tổng quát là:

$u_n = 2027 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{2027}{2^{n-1}}$

Ta có: $v_n = \dfrac{2u_n + 3}{u_n} = 2 + \dfrac{3}{u_n} = 2 + \dfrac{3}{\dfrac{2027}{2^{n-1}}} = 2 + \dfrac{3 \cdot 2^{n-1}}{2027}$

Do đó, số hạng thứ $k$ trong tổng cần tính là:

$k \cdot v_k = k \left( 2 + \dfrac{3 \cdot 2^{k-1}}{2027} \right) = 2k + \dfrac{3}{2027} \cdot k \cdot 2^{k-1}$

Xét tổng $T = v_1 + 2v_2 + \dots + n v_n$, ta tách thành 2 phần:

$T = \left( 2.1 + 2.2 + \dots + 2.n \right) + \dfrac{3}{2027} \left( 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1} \right)$

$T = 2(1 + 2 + \dots + n) + \dfrac{3}{2027} \cdot S$

Ta có $2(1 + 2 + \dots + n) = 2 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

Lại có $S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$

Trừ vế theo vế ($S - 2S$):

$-S = 1 + (2-1)2 + (3-2)2^2 + \dots + (n - (n-1))2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-S = \underbrace{1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}}_{\text{Tổng CSN với } u_1=1, q=2} - n \cdot 2^n$

$-S = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} - n \cdot 2^n = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$\Rightarrow S = (n - 1)2^n + 1$

$T = n(n+1) + \dfrac{3}{2027} \left[ (n - 1)2^n + 1 \right]$

$L = \lim \left[ \dfrac{4}{n^2} T \right] = \lim \left[ \dfrac{4n(n+1)}{n^2} + \dfrac{12}{2027} \cdot \dfrac{(n - 1)2^n + 1}{n^2} \right]$

Ta xét 2 giới hạn thành phần:

  1. $\lim \dfrac{4n(n+1)}{n^2} = \lim \dfrac{4n^2 + 4n}{n^2} = 4$
  2. $\lim \dfrac{(n - 1)2^n + 1}{n^2} = \lim \left[ \dfrac{n-1}{n^2} \cdot 2^n + \dfrac{1}{n^2} \right]$

Vì $\lim \dfrac{2^n}{n} = +\infty$ 

Vậy $L = 4 + (+\infty) = +\infty$.

 

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →