Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của đoạn OA và dây MN vuông góc với OA
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của đoạn OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ MB, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh: Tứ giác BCHK nội tiếp.
b) Chứng minh: $AK \cdot AH = AC \cdot AB$ và AMON là hình thoi.
c) Trên KN lấy I sao cho KI = KM. Chứng minh NI = KB và tìm vị trí điểm K để chu vi tam giác MKB lớn nhất.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số, chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau là hình thoi.
c) Phân tích góc để chứng minh tam giác MKI và tam giác MBN là tam giác đều. Từ đó chứng minh hai tam giác KMB và IMN bằng nhau. Đánh giá độ dài chu vi thông qua độ dài dây cung.
a) Theo giả thiết, ta có $MN\bot AB$ tại $C$. Suy ra $\angle HCB = 90^{{^\circ}}$.
Vì tam giác HCB vuông tại C nên 3 điểm H, C, B cùng thuộc đường tròn đường kính HB (1).
Xét đường tròn (O) có đường kính AB, điểm K nằm trên (O) nên góc $\angle AKB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra $\angle AKB = 90^{{^\circ}}$ hay$\angle HKB = 90^{{^\circ}}$.
Vì tam giác HKB vuông tại K nên 3 điểm H, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính HB (2).
Từ (1) và (2), suy ra 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn đường kính HB.
Vậy tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Xét tam giác ACH và tam giác AKB có:
$\angle CAH$ là góc chung
$\angle ACH = \angle AKB = 90^{{^\circ}}$
Suy ra $\left. \Delta ACH \right.\sim\Delta AKB\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{AC}{AK} = \dfrac{AH}{AB}$ hay $AK \cdot AH = AC \cdot AB$
Xét đường tròn (O), ta có $OM = ON = R$ nên $\Delta OMN$ cân tại O
Mà $OC\bot MN$ nên OC là đường cao đồng thời là trung tuyến. Hay C là trung điểm của MN
Mặt khác, theo giả thiết, C cũng là trung điểm của đoạn thẳng OA.
Suy ra tứ giác AMON là hình bình hành.
Mà hai đường chéo vuông góc với nhau tại C ($OA\bot MN$) nên tứ giác AMON là hình thoi (đpcm).
c) Ta có OMAN là hình thoi nên $OM = MA$. Mà $OM = OA = R$ nên $OM = OA = MA$
Suy ra $\Delta OMA$ đều hay $\angle MOA = 60^{0}$
Lại có OA là phân giác của góc MON (tính chất hình thoi)
nên $\angle MON = 2.60^{0} = 120^{0}$
Khi đó $\angle MKN = \dfrac{1}{2}\angle MON = \dfrac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN). Suy ra $\Delta MKI$ đều và $MK = MI$.
Vì tứ giác BKMA nội tiếp (O) nên $\angle MKB + \angle MAB = 180^{0}$ suy ra $\angle MKB = 120^{0}$.
Lại có $\angle MIK = 60^{0}$ nên $\angle MIN = 120^{0}$.
Vậy $\angle MKB = \angle MIN\left( {= 120^{0}} \right)$
Lại có $\angle MNI = \angle MBK$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MK) nên suy ra $\angle OIN = \angle KMB$ (tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng $180^{0}$)
Xét $\Delta MKB$ và $\Delta MIN$ có
$\angle MKB = \angle MIN\left( {= 120^{0}} \right)$
$MK = MI$ (chứng minh trên)
$\angle NMI = \angle KMB$
Suy ra $\Delta MKB = \Delta MIN$ (g.c.g)
Suy ra $NI = KB$ (hai cạnh tương ứng)
Ta có chu vi $\Delta MKB$ là $P = MK + KB + MB$
Mà theo chứng minh trên, ta có $MK = KI$ và $KB = NI$.
Suy ra $P = KI + NI + BM = KN + BM$
Vì $\Delta MAB$ vuông tại M nên $MB = AB.\sin MAB = 2R.\sin 60^{0} = \sqrt{3}R$
Vì đoạn thẳng $BM = R\sqrt{3}$ có độ dài không đổi, nên chu vi P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi độ dài dây cung KN của đường tròn (O) đạt giá trị lớn nhất. Trong một đường tròn, dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi dây cung đó là đường kính.
Do đó, KN lớn nhất khi KN là đường kính của đường tròn (O), tức là ba điểm K, O, N thẳng hàng và$KN = 2R$.
Khi KN là đường kính, K là điểm đối xứng với N qua tâm O.
Vì N cố định nên điểm K cố định. Lúc này, K là điểm nằm chính giữa cung nhỏ MB
Vậy, khi $K$ là điểm chính giữa của cung nhỏ MB thì chu vi tam giác MKB đạt giá trị lớn nhất bằng $2R + R\sqrt{3} = R(2 + \sqrt{3})$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
