Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét

Câu hỏi số 978681:
Vận dụng

Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ O. Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm O có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí $M(5;10;4)$ đến vị trí $N(14; - 2;4)$. Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kì trên vành đai.

Đúng Sai
a) $\overset{\rightarrow}{MN} = (9; - 12;0)$.
b) Phương trình tham số của đường thẳng MN là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 3t} \\ {y = 10 - 4t} \\ {z = 0} \end{array} \right.$ với $t \in {\mathbb{R}}$.
c) Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 50 mét.
d) Trong quá trình bay từ M đến N, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là ngắn nhất khi máy bay ở vị trí có tọa độ là $(8;6;4)$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:978681
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tọa độ vectơ đi qua hai điểm.

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có một vectơ chỉ phương cho trước.

Xác định khoảng cách từ một điểm trong không gian đến một đường tròn nằm trong mặt phẳng tọa độ thông qua hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.

Sử dụng hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách khi điểm di chuyển trên một đoạn thẳng.

Giải chi tiết

a) Đúng. Tọa độ vectơ $\overset{\rightarrow}{MN} = (14 - 5; - 2 - 10;4 - 4) = (9; - 12;0)$.

b) Sai. Đường thẳng MN đi qua điểm $M(5;10;4)$ và nhận vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{MN} = (3; - 4;0)$ làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng MN là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 5 + 3t} \\ {y = 10 - 4t} \\ {z = 4} \end{array} \right.$ với $t \in {\mathbb{R}}$.

c) Đúng. Giả sử máy bay ở vị trí P trên đoạn thẳng MN.

Vì P thuộc đoạn MN nên tọa độ của P thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng MN và giới hạn ở hai điểm mút, ta có $P(5 + 3t;10 - 4t;4)$ với $0 \leq t \leq 3$ (khi $t = 0$ thì $P \equiv M$, khi $t = 3$ thì $P \equiv N$).

Vành đai bảo vệ là đường tròn (C) tâm O, bán kính $R = 7$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$.

Gọi P' là hình chiếu vuông góc của P lên mặt phẳng (Oxy), ta có $P'(5 + 3t;10 - 4t;0)$.

Khoảng cách $PP' = \left| z_{P} \right| = 4$.

Gọi K là một điểm bất kỳ trên vành đai bảo vệ (đường tròn (C)).

Khoảng cách từ máy bay P đến điểm K là $PK = \sqrt{P{P'}^{2} + P'K^{2}} = \sqrt{16 + P'K^{2}}$.

Để khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ PK là ngắn nhất thì độ dài đoạn P'K phải nhỏ nhất.

Vì P', O, K cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) và K thuộc đường tròn (C) tâm O, bán kính R=7, nên đoạn P'K ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm P' đến đường tròn (C), tức là $\min P'K = \left| {OP' - R} \right| = \left| {OP' - 7} \right|$.

Ta tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến P':

$\begin{array}{l} {OP' = \sqrt{{(5 + 3t)}^{2} + {(10 - 4t)}^{2}} = \sqrt{25 + 30t + 9t^{2} + 100 - 80t + 16t^{2}}} \\ {= \sqrt{25t^{2} - 50t + 125} = \sqrt{25(t^{2} - 2t + 5)} = 5\sqrt{{(t - 1)}^{2} + 4}} \end{array}$.

Với $t \in \lbrack 0;3\rbrack$ ta có ${(t - 1)}^{2} \geq 0$, nên $OP' \geq 5\sqrt{4} = 10$. Dấu "=" xảy ra khi $t = 1$.

Vì $OP' \geq 10 > 7$ với mọi $t \in \lbrack 0;3\rbrack$ nên $\min P'K = OP' - 7$.

Khoảng cách từ máy bay đến vành đai là $d = \sqrt{16 + {(OP' - 7)}^{2}}$.

Hàm số d đạt giá trị nhỏ nhất khi OP' đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại $t = 1$, khi đó $OP' = 10$.

Giá trị khoảng cách nhỏ nhất là $\min d = \sqrt{16 + {(10 - 7)}^{2}} = \sqrt{16 + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$ (đơn vị).

Đổi sang đơn vị mét trên thực tế: $5 \cdot 10 = 50$ (mét).

d) Đúng. Tại thời điểm d đạt giá trị nhỏ nhất ($t = 1$), tọa độ của máy bay là $P(5 + 3 \cdot 1;10 - 4 \cdot 1;4)$ hay $P(8;6;4)$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →