Cho hình lập phương ABCD.MNPQ có cạnh bằng 6. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khoảng

Câu hỏi số 978682:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.MNPQ có cạnh bằng 6. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (MED) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978682

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình lập phương để tìm tọa độ các điểm.

Viết phương trình mặt phẳng (MED) đi qua D và nhận vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{DM},\overset{\rightarrow}{DE}\rbrack$.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ đến mặt phẳng $(\alpha):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d(M_{0},(\alpha)) = \dfrac{\left| {Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng với đỉnh D, tức là $D(0;0;0)$.

Các tia DA, DC, DQ lần lượt nằm trên các phần dương của các trục Ox, Oy, Oz.

Vì hình lập phương có cạnh bằng 6 nên ta có tọa độ các đỉnh tương ứng:

$A(6;0;0)$, $C(0;6;0)$, $Q(0;0;6)$.

Khi đó, đỉnh B thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $B(6;6;0)$.

Đỉnh M nằm ngay trên đỉnh A nên $M(6;0;6)$.

Đỉnh P nằm ngay trên đỉnh C nên $P(0;6;6)$.

Vì E là trung điểm của AB nên tọa độ của E là $E(\dfrac{6 + 6}{2};\dfrac{0 + 6}{2};\dfrac{0 + 0}{2}) = (6;3;0)$.

Ta có hai vectơ trên mặt phẳng (MED):

$\overset{\rightarrow}{DM} = (6;0;6)$

$\overset{\rightarrow}{DE} = (6;3;0)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MED) là

$\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{DM},\overset{\rightarrow}{DE}\rbrack = (0 \cdot 0 - 6 \cdot 3;6 \cdot 6 - 6 \cdot 0;6 \cdot 3 - 0 \cdot 6) = ( - 18;36;18)$.

Chọn vectơ cùng phương $\overset{\rightarrow}{n_{1}} = \dfrac{1}{18}\overset{\rightarrow}{n} = ( - 1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MED)$.

Mặt phẳng $(MED)$ đi qua gốc tọa độ $D(0;0;0)$ nên có phương trình:

$\left. - 1(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0\Leftrightarrow - x + 2y + z = 0 \right.$.

Khoảng cách từ điểm $P(0;6;6)$ đến mặt phẳng $(MED)$ là:

$d(P,(MED)) = \dfrac{\left| {- 0 + 2 \cdot 6 + 6} \right|}{\sqrt{{( - 1)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3\sqrt{6} \approx 7,35$.

Đáp án cần điền là: 7,35

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.