Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình

Câu hỏi số 978683:

Vận dụng

Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp $\left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12;15;16;20 \right\}$ vào 15 ô vuông trong hình dưới thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi H là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của $\dfrac{H}{30}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978683

Phương pháp giải

Phân loại các số trong tập hợp theo số dư khi chia cho 5.

Chuyển điều kiện "hiệu hai số không chia hết cho 5" thành "không có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 5".

Lập luận trên cấu trúc lưới bậc thang để tìm số lượng ô tối đa đôi một không cùng hàng và không cùng cột, từ đó xếp các nhóm số tương ứng vào các vị trí duy nhất thỏa mãn.

Áp dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách sắp xếp.

Giải chi tiết

Tập hợp đã cho gồm 15 số. Ta chia các số này thành các nhóm dựa vào số dư của chúng khi chia cho 5:

Nhóm $A_{0}$ (chia hết cho 5): gồm $\left\{ 0;5;10;15;20 \right\}$ có 5 phần tử.

Nhóm $A_{1}$ (chia 5 dư 1): gồm $\left\{ 1;6;11;16 \right\}$ có 4 phần tử.

Nhóm $A_{2}$ (chia 5 dư 2): gồm $\left\{ 2;7;12 \right\}$ có 3 phần tử.

Nhóm $A_{3}$ (chia 5 dư 3): gồm $\left\{ 3;8 \right\}$ có 2 phần tử.

Nhóm $A_{4}$ (chia 5 dư 4): gồm $\left\{ 4 \right\}$ có 1 phần tử.

Điều kiện "hiệu hai số ở hai ô bất kì trên cùng một hàng (hoặc cột) không chia hết cho 5" tương đương với việc: trên cùng một hàng (hoặc cột), không có bất kì hai số nào thuộc cùng một nhóm số dư.

Nói cách khác, các số thuộc cùng một nhóm $A_{i}$ phải được xếp vào các ô sao cho không có 2 ô nào nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột.

Quan sát lưới gồm 15 ô vuông được sắp xếp thành dạng bậc thang:

Để xếp 5 số của nhóm $A_{0}$ vào lưới sao cho không có 2 số nào cùng hàng hoặc cùng cột, ta phải chọn 5 ô đôi một độc lập. Trong hình bậc thang này, tập hợp 5 ô độc lập duy nhất chính là đường chéo dài nhất gồm 5 ô: (Hàng 5, Cột 1), (Hàng 4, Cột 2), (Hàng 3, Cột 3), (Hàng 2, Cột 4), (Hàng 1, Cột 5).

Số cách xếp 5 số của nhóm $A_{0}$ vào 5 ô này là 5! cách.

Sau khi đã điền nhóm $A_{0}$, ta gạch bỏ 5 ô này. Phần còn lại của lưới là một hình bậc thang nhỏ hơn gồm 10 ô (tương ứng với 4 hàng và 4 cột).

Để xếp 4 số của nhóm $A_{1}$ vào lưới sao cho không có 2 số cùng hàng hoặc cột, ta lại phải chọn 4 ô đôi một độc lập trong lưới còn lại. Tương tự, tập hợp 4 ô này là duy nhất: (Hàng 4, Cột 1), (Hàng 3, Cột 2), (Hàng 2, Cột 3), (Hàng 1, Cột 4).

Số cách xếp 4 số của nhóm $A_{1}$ vào 4 ô này là 4! cách.

Áp dụng lập luận tương tự, phần còn lại của lưới luôn buộc các nhóm số phải được xếp vào đường chéo tương ứng với kích thước của nhóm:

Số cách xếp 3 số của nhóm $A_{2}$ vào 3 ô độc lập còn lại là 3! cách.

Số cách xếp 2 số của nhóm $A_{3}$ vào 2 ô độc lập còn lại là 2! cách.

Số cách xếp 1 số của nhóm $A_{4}$ vào ô cuối cùng (Hàng 1, Cột 1) là 1! cách.

Theo quy tắc nhân, tổng số cách điền H thỏa mãn điều kiện bài toán là:

$H = 5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! = 120 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 = 34560$ (cách).

Vậy giá trị của $\dfrac{H}{30}$ là $\dfrac{34560}{30} = 1152$.

Đáp án cần điền là: 1152

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.