Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay

Câu hỏi số 978684:

Vận dụng

Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và nửa trên của elip $\dfrac{x^{2}}{1,5^{2}} + \dfrac{y^{2}}{1^{2}} = 1$ (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục Ox; sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính 0,2cm và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.

Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978684

Phương pháp giải

Viết phương trình nửa trên của elip dưới dạng hàm số $y = f(x)$.

Xác định hoành độ giao điểm của nửa trên elip và đường thẳng $y = 0,2$ để tìm cận của tích phân.

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ quanh trục Ox: $V = \pi{\int_{a}^{b}\left| {f^{2}(x) - g^{2}(x)} \right|}dx$.

Giải chi tiết

Từ phương trình elip $\dfrac{x^{2}}{1,5^{2}} + \dfrac{y^{2}}{1^{2}} = 1$, ta có $y^{2} = 1 - \dfrac{x^{2}}{2,25}$.

Phương trình nửa trên của elip (với $y \geq 0$) là $y = \sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{2,25}}$.

Lỗ khoan có dạng hình trụ bán kính 0,2 có trục là Ox, phần mặt cắt của nó trên mặt phẳng tọa độ giới hạn bởi đường thẳng $y = 0,2$.

Hoành độ giao điểm của nửa trên elip và đường thẳng $y = 0,2$ là nghiệm của phương trình:

$\left. \sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{2,25}} = 0,2\Leftrightarrow 1 - \dfrac{x^{2}}{2,25} = 0,04\Leftrightarrow\dfrac{x^{2}}{2,25} = 0,96\Leftrightarrow x^{2} = 2,16\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2,16} \right.$.

Thể tích $V$ của hạt cườm là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{2,25}}$, đường thẳng $y = 0,2$ và hai đường thẳng $x = - \sqrt{2,16}$, $x = \sqrt{2,16}$ quanh trục Ox.

$V = \pi{\int_{- \sqrt{2,16}}^{\sqrt{2,16}}\left\lbrack {\left( \sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{2,25}} \right)^{2} - 0,2^{2}} \right\rbrack}dx \approx 5,91$

Đáp án cần điền là: 5,91

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.