Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh $A_{1}A_{2}...A_{12}$ (xem hình dưới)

Câu hỏi số 978685:

Vận dụng

Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh $A_{1}A_{2}...A_{12}$ (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh $A_{1},A_{2},...,A_{12}$ sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi P là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của 3190P bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978685

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính xác suất $P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ với $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và $n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu.

Xác định số lượng hình vuông có thể tạo thành từ 12 đỉnh của đa giác đều 12 cạnh.

Sử dụng quy tắc nhân, quy tắc cộng và hoán vị để đếm số cách sắp xếp các bóng đèn thỏa mãn điều kiện bài toán.

Giải chi tiết

Không gian mẫu là tập hợp các cách lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn (có công suất khác nhau nên 12 bóng đèn này là phân biệt) vào 12 đỉnh. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 12!$.

Một đa giác đều 12 cạnh có 12 đỉnh. Số hình vuông có các đỉnh là đỉnh của đa giác là $\dfrac{12}{4} = 3$ hình vuông.

Ba hình vuông này rời nhau và bao trùm tất cả 12 đỉnh của đa giác.

Cụ thể các tập đỉnh của 3 hình vuông đó là:

$V_{1} = \left\{ A_{1},A_{4},A_{7},A_{10} \right\}$

$V_{2} = \left\{ A_{2},A_{5},A_{8},A_{11} \right\}$

$V_{3} = \left\{ A_{3},A_{6},A_{9},A_{12} \right\}$

Gọi $A$ là biến cố: "Mỗi hình vuông đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ".

Do có tất cả 4 bóng đèn màu đỏ mà có 3 hình vuông rời nhau, nên để mỗi hình vuông đều có ít nhất 1 bóng đèn đỏ, bắt buộc phải có đúng một hình vuông chứa 2 bóng đèn đỏ và hai hình vuông còn lại mỗi hình vuông chứa 1 bóng đèn đỏ.

Ta thực hiện các bước sau để đếm số cách xếp thỏa mãn biến cố $A$:

Bước 1: Chọn 1 hình vuông trong 3 hình vuông để gắn 2 bóng đèn đỏ. Số cách chọn là $C_{3}^{1} = 3$ (cách).

Bước 2: Trong hình vuông vừa chọn (có 4 đỉnh), chọn ra 2 đỉnh để gắn bóng đèn đỏ. Số cách chọn là $C_{4}^{2} = 6$ (cách).

Bước 3: Chọn 1 đỉnh trong hình vuông thứ hai để gắn bóng đèn đỏ. Số cách chọn là $C_{4}^{1} = 4$ (cách).

Bước 4: Chọn 1 đỉnh trong hình vuông thứ ba để gắn bóng đèn đỏ. Số cách chọn là $C_{4}^{1} = 4$ (cách).

Lúc này, ta đã chọn được 4 vị trí để gắn 4 bóng đèn màu đỏ và 8 vị trí còn lại dùng để gắn 8 bóng đèn màu xanh.

Bước 5: Xếp 4 bóng đèn màu đỏ (phân biệt) vào 4 vị trí đã chọn. Số cách xếp là 4! Cách

Bước 6: Xếp 8 bóng đén màu xanh (phân biệt) vàp vị trí còn lại. Số cách sắp xếp là 8! Cách

Vậy $n(A) = 3 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4! \cdot 8! = 288 \cdot 4! \cdot 8!$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{288 \cdot 4! \cdot 8!}{12!} = \dfrac{288 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} = \dfrac{6912}{11880} = \dfrac{32}{55}$.

Giá trị của biểu thức 3190P là $3190 \cdot \dfrac{32}{55} = 58 \cdot 32 = 1856$.

Đáp án cần điền là: 1856

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.