Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như

Câu hỏi số 978903:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số $g(x) = f(1 + 2x - x^{2})$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1;2)$.

B. $(0;1)$.

C. $( - \infty;1)$.

D. $(1; + \infty)$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978903

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm hợp $g'(x) = u' \cdot f'(u)$ với $u = 1 + 2x - x^{2}$.

Để hàm số $g(x)$ đồng biến thì $g'(x) > 0$. Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$ để giải bất phương trình tìm ra các khoảng của $x$.

Giải chi tiết

Đạo hàm: $g'(x) = {(1 + 2x - x^{2})}' \cdot f'(1 + 2x - x^{2}) = (2 - 2x) \cdot f'(1 + 2x - x^{2})$.

Hàm số đồng biến khi $\left. g'(x) > 0\Leftrightarrow(2 - 2x) \cdot f'(1 + 2x - x^{2}) > 0 \right.$.

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {2 - 2x > 0} \\ {f'(1 + 2x - x^{2}) > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x < 1} \\ {f'(1 + 2x - x^{2}) > 0} \end{array} \right. \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta thấy $f'(u) > 0$ khi $u < 1$ hoặc $u > 2$.

Suy ra $\left. \left\lbrack \begin{matrix} {1 + 2x - x^{2} < 1} \\ {1 + 2x - x^{2} > 2} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {2x - x^{2} < 0} \\ {- x^{2} + 2x - 1 > 0} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x < 0} \\ {x > 2} \end{array} \right. \right.$

Kết hợp điều kiện $x < 1$, ta được $x < 0$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;0)$.

Trường hợp 2: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {2 - 2x < 0} \\ {f'(1 + 2x - x^{2}) < 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x > 1} \\ {f'(1 + 2x - x^{2}) < 0} \end{array} \right. \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta thấy $f'(u) < 0$ khi $1 < u < 2$.

Suy ra $\left. 1 < 1 + 2x - x^{2} < 2\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x - x^{2} > 0} \\ {- x^{2} + 2x - 1 < 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {0 < x < 2} \\ {{(x - 1)}^{2} > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {0 < x < 2} \\ {x \neq 1} \end{array} \right. \right.$

Kết hợp điều kiện $x > 1$, ta được $1 < x < 2$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Tổng hợp lại, hàm số $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(1;2)$.

Đối chiếu với các đáp án, khoảng $(1;2)$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.