Cho hàm số $f(x)$, bảng biến thiên của hàm số $f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực

Câu hỏi số 978904:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$, bảng biến thiên của hàm số $f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số $y = f(x^{2} + 2x)$ là

A. 3.

B. 9.

C. 5.

D. 7.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978904

Phương pháp giải

Tính đạo hàm y'. Tìm số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình $y' = 0$. Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình đạo hàm bằng 0.

Giải chi tiết

Ta có $y' = {(x^{2} + 2x)}' \cdot f'(x^{2} + 2x) = 2(x + 1) \cdot f'(x^{2} + 2x)$.

Giải phương trình $\left. y' = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x + 1 = 0} \\ {f'(x^{2} + 2x) = 0} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x = - 1} \\ {f'(x^{2} + 2x) = 0} \end{matrix} \right. \right.$.

Quan sát bảng biến thiên của hàm số $f'(x)$, đường thẳng $y = 0$ cắt đồ thị hàm số $f'(x)$ tại 4 điểm phân biệt.

$\left. f'(t) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = a \in ( - \infty; - 1)} \\ {t = b \in \left( {- 1;0} \right)} \\ {t = c \in \left( {0;1} \right)} \\ {t = d \in \left( {1; + \infty} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} + 2x = a \in ( - \infty; - 1)} \\ {x^{2} + 2x = b \in \left( {- 1;0} \right)} \\ {x^{2} + 2x = c \in \left( {0;1} \right)} \\ {x^{2} + 2x = d \in \left( {1; + \infty} \right)} \end{array} \right. \right.$

Xét hàm số $h(x) = x^{2} + 2x$ có đồ thị là một parabol quay bề lõm lên trên, tọa độ đỉnh là $( - 1; - 1)$. Giá trị nhỏ nhất của $h(x)$ là $- 1$.

Vì $a < - 1$ nên phương trình (1) vô nghiệm.

Vì $\left. b \in ( - 1;0)\Rightarrow b > - 1 \right.$ nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Vì $\left. c \in (0;1)\Rightarrow c > - 1 \right.$ nên phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt.

Vì $\left. d \in (1; + \infty)\Rightarrow d > - 1 \right.$ nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt.

Hơn nữa, các nghiệm này hoàn toàn khác nhau và khác -1 (do các giá trị $t_{2},t_{3},t_{4}$ đều khác $- 1$).

Vậy phương trình $y' = 0$ có tổng cộng $1 + 2 + 2 + 2 = 7$ nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số đã cho có $7$ điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.