Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} - (m - 1)x^{2} + 3mx + 1$ nghịch

Câu hỏi số 978912:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} - (m - 1)x^{2} + 3mx + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978912

Phương pháp giải

Hàm số đa thức bậc ba nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi đạo hàm $y' \leq 0$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$. Điều này tương đương với tam thức bậc hai y' có hệ số $a < 0$ và $\Delta' \leq 0$.

Giải chi tiết

Ta có đạo hàm $y' = - 3x^{2} - 2(m - 1)x + 3m$.

Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \leq 0,\forall x \in {\mathbb{R}}$.

$\left. \Leftrightarrow\Delta' \leq 0 \right.$ (do hệ số $a = - 3 < 0$).

Ta tính $\Delta' = {(m - 1)}^{2} - ( - 3)(3m) = m^{2} - 2m + 1 + 9m = m^{2} + 7m + 1$.

Yêu cầu $\left. \Delta' \leq 0\Leftrightarrow m^{2} + 7m + 1 \leq 0 \right.$.

Giải bất phương trình trên, ta được: $\dfrac{- 7 - 3\sqrt{5}}{2} \leq m \leq \dfrac{- 7 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Giá trị xấp xỉ là $- 6,85 \leq m \leq - 0,15$.

Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \left\{ - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}$.

Vậy có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.