Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3mx + 1$ có hai điểm cực

Câu hỏi số 978914:

Vận dụng

Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3mx + 1$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978914

Phương pháp giải

Tính đạo hàm y', tìm điều kiện của m để có hai điểm cực trị ($m > 0$). Tìm tọa độ $A$ và $B$ theo $m$. Tam giác OAB vuông tại $O$ khi tích vô hướng của hai vectơ $\overset{\rightarrow}{OA}$ và $\overset{\rightarrow}{OB}$ bằng 0.

Giải chi tiết

Đạo hàm $y' = - 3x^{2} + 3m$. Cho $\left. y' = 0\Leftrightarrow x^{2} = m \right.$.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $x^{2} = m$ phải có hai nghiệm phân biệt, tức là $m > 0$.

Khi đó ta có hai nghiệm là $x_{1} = \sqrt{m}$ và $x_{2} = - \sqrt{m}$.

Tung độ tương ứng:

$y_{1} = - {(\sqrt{m})}^{3} + 3m\sqrt{m} + 1 = 2m\sqrt{m} + 1$. Ta có điểm $A(\sqrt{m};2m\sqrt{m} + 1)$.

$y_{2} = - {( - \sqrt{m})}^{3} + 3m( - \sqrt{m}) + 1 = - 2m\sqrt{m} + 1$. Ta có điểm $B( - \sqrt{m}; - 2m\sqrt{m} + 1)$.

Ta có các vectơ $\overset{\rightarrow}{OA} = (\sqrt{m};2m\sqrt{m} + 1)$ và $\overset{\rightarrow}{OB} = ( - \sqrt{m}; - 2m\sqrt{m} + 1)$.

Tam giác OAB vuông tại $\left. O\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{OB} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(\sqrt{m})( - \sqrt{m}) + (2m\sqrt{m} + 1)( - 2m\sqrt{m} + 1) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - m + 1 - 4m^{3} = 0\Leftrightarrow 4m^{3} + m - 1 = 0\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\left( {TM} \right) \right.$.

Đáp án cần điền là: 0,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.