Có tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người được đưa cho một đồng xu cân đối và

Câu hỏi số 978970:

Vận dụng

Có tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người được đưa cho một đồng xu cân đối và đồng chất. Cả tám người cùng tung đồng xu của mình, ai tung được mặt ngửa thì đứng dậy, còn ai tung được mặt sấp thì vẫn ngồi yên. Biết rằng xác suất để không có hai người đứng cạnh nhau là $\dfrac{a}{b}$ ($\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b \in {\mathbb{N}}^{*}$). Tính $a^{2} + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978970

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu khi 8 người cùng tung đồng xu.

Chia trường hợp số người đứng dậy từ 0 đến 4 người (do bàn tròn có 8 người nên để không có ai đứng cạnh nhau thì số người đứng tối đa là 4).

Dùng các quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) và tổ hợp để tính số cách xếp cho từng trường hợp.

Tính xác suất, đối chiếu để tìm a, b và tính giá trị biểu thức yêu cầu.

Giải chi tiết

Mỗi người tung đồng xu có 2 khả năng xảy ra (ngửa hoặc sấp).

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 2^{8} = 256$.

Gọi biến cố A: "Không có hai người nào đứng cạnh nhau".

Để không có hai người đứng cạnh nhau, số người đứng tối đa là 4.

Xét các trường hợp số người đứng (gọi là k):

Trường hợp 1: $k = 0$ (Không có ai đứng). Có 1 cách.

Trường hợp 2: $k = 1$ (Có 1 người đứng). Có 8 cách chọn vị trí cho người đứng.

Trường hợp 3: $k = 2$ (Có 2 người đứng).

Số cách chọn 2 người đứng bất kỳ là: $C_{8}^{2} = 28$ (cách).

Số cách chọn 2 người đứng liền kề nhau là: 8 (cách).

Số cách chọn 2 người đứng không cạnh nhau là: $28 - 8 = 20$ (cách).

Trường hợp 4: $k = 3$ (Có $3$ người đứng).

Số cách chọn 3 người đứng bất kỳ là: $C_{8}^{3} = 56$ (cách).

Số cách chọn 3 người đứng liền kề nhau là: 8 (cách).

Số cách chọn 3 người sao cho có đúng 2 người liền kề: Có 8 cách chọn 1 cặp 2 người liền kề; để người thứ ba không đứng cạnh cặp này, ta phải loại ra 4 vị trí (gồm 2 người trong cặp và 2 người ngồi kề hai bên), vậy còn lại 4 vị trí. Số cách chọn là $8 \times 4 = 32$ (cách).

Số cách chọn 3 người không có ai đứng cạnh nhau là: $56 - 8 - 32 = 16$ (cách).

Trường hợp 5: $k = 4$ (Có $4$ người đứng).

Để 4 người trên bàn tròn 8 chỗ không đứng cạnh nhau, họ phải ngồi ở các vị trí đan xen xen kẽ.

Có 2 cách chọn (nhóm các vị trí 1, 3, 5, 7 hoặc nhóm 2, 4, 6, 8).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$n(A) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47$.

Xác suất của biến cố A là $P(A) = \dfrac{47}{256}$.

Theo đề bài $P(A) = \dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, do đó $a = 47$ và $b = 256$.

Giá trị của biểu thức cần tính là: $a^{2} + b = 47^{2} + 256 = 2209 + 256 = 2465$.

Đáp án cần điền là: 2465

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.