Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo

Câu hỏi số 978971:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó đứng tại đỉnh C' (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978971

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ để mô phỏng các bước đi của con sâu dọc theo các cạnh của hình hộp.

Tính số phần tử của không gian mẫu dựa trên số lựa chọn ở mỗi bước đi.

Lập luận về số bước đi theo mỗi hướng để con sâu đi đến đỉnh đích, từ đó chia trường hợp và sử dụng quy tắc đếm (tổ hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân) để tính số kết quả thuận lợi.

Tính xác suất và làm tròn theo yêu cầu.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ không gian, coi đỉnh A có tọa độ $(0;0;0)$.

Khi đó, 3 đỉnh kề với A sẽ có 1 tọa độ bằng 1 và 2 tọa độ bằng 0.

Đỉnh C' là đỉnh đối diện với A qua hình hộp, nên C' sẽ có tọa độ $(1;1;1)$.

Mỗi bước di chuyển của con sâu dọc theo một cạnh của hình hộp chữ nhật tương ứng với việc thay đổi đúng một tọa độ (từ 0 thành 1 hoặc ngược lại, tùy thuộc vào việc nó đi tiến hay lùi theo trục đó).

Mỗi bước đi, con sâu đứng ở một đỉnh bất kỳ luôn có 3 cách chọn cạnh để đi tiếp đến 3 đỉnh kề.

Do con sâu di chuyển 9 lần, nên số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 3^{9} = 19683$.

Gọi biến cố X: "Sau 9 lần di chuyển, con sâu đứng tại đỉnh C'".

Để con sâu xuất phát từ $(0;0;0)$ và kết thúc ở $(1;1;1)$, thì trạng thái của cả 3 tọa độ x, y, z đều phải chuyển từ chẵn (0) sang lẻ (1).

Điều này có nghĩa là tổng số bước đi theo mỗi hướng (dọc theo các trục Ox, Oy, Oz) phải là một số nguyên dương lẻ.

Gọi a, b, c lần lượt là số bước di chuyển theo 3 hướng tọa độ.

Ta có: $a + b + c = 9$ và $a,b,c \in \left\{ 1;3;5;7 \right\}$

Các bộ số lẻ $(a;b;c)$ thỏa mãn tổng bằng $9$ bao gồm: $(1;1;7)$, $(1;3;5)$, $(3;3;3)$.

Ta tính số đường đi cho từng trường hợp bằng cách chọn ra các vị trí bước đi trong tổng số 9 bước:

Trường hợp 1: Bộ số là hoán vị của $(1;1;7)$.

Có 3 cách chọn hướng đi được thực hiện 7 lần.

Số cách sắp xếp thứ tự bước đi là: $C_{9}^{7} \cdot C_{2}^{1} \cdot C_{1}^{1} = 36 \cdot 2 \cdot 1 = 72$ (cách).

Số đường đi trong trường hợp này là: $3 \times 72 = 216$.

Trường hợp 2: Bộ số là hoán vị của $(1;3;5)$.

Có $3! = 6$ cách xếp 3 số bước đi cho 3 hướng.

Số cách sắp xếp thứ tự bước đi là: $C_{9}^{5} \cdot C_{4}^{3} \cdot C_{1}^{1} = 126 \cdot 4 \cdot 1 = 504$ (cách).

Số đường đi trong trường hợp này là: $6 \times 504 = 3024$.

Trường hợp 3: Bộ số là $(3;3;3)$.

Có 1 cách xếp 3 số bước đi cho 3 hướng.

Số cách sắp xếp thứ tự bước đi là: $C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3} = 84 \cdot 20 \cdot 1 = 1680$ (cách).

Số đường đi trong trường hợp này là: 1680.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố X là: $n(X) = 216 + 3024 + 1680 = 4920$.

Xác suất cần tìm là $P(X) = \dfrac{n(X)}{n(\Omega)} = \dfrac{4920}{19683} \approx 0,25$

Đáp án cần điền là: 0,25

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.