Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp $S = \left\{

Câu hỏi số 978973:

Vận dụng

Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp $S = \left\{ 1;2;\ldots;26 \right\}$ để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978973

Phương pháp giải

Xét các số dư có thể có của bình phương một số tự nhiên khi chia cho 5.

Phân chia tập hợp S ban đầu thành các tập hợp con tương ứng với từng loại số dư của bình phương.

Lập luận tìm các trường hợp tổng của 3 số dư chia hết cho 5.

Sử dụng các quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) và công thức chỉnh hợp để tính số cách chọn và xếp số.

Giải chi tiết

Một số nguyên n bất kỳ khi bình phương lên và chia cho 5 chỉ có thể nhận một trong các số dư là 0, 1, 4. Cụ thể:

Nếu $n \equiv 0\quad\left( {{mod}5} \right)$ thì $n^{2} \equiv 0\quad\left( {{mod}5} \right)$.

Nếu $n \equiv 1\quad\left( {{mod}5} \right)$ hoặc $n \equiv 4\quad\left( {{mod}5} \right)$ thì $n^{2} \equiv 1\quad\left( {{mod}5} \right)$.

Nếu $n \equiv 2\quad\left( {{mod}5} \right)$ hoặc $n \equiv 3\quad\left( {{mod}5} \right)$ thì $n^{2} \equiv 4\quad\left( {{mod}5} \right)$.

Tập hợp $S = \left\{ 1;2;\ldots;26 \right\}$ gồm 26 phần tử.

Ta chia S thành 3 tập con A, B, C dựa vào số dư của bình phương các số khi chia cho 5:

Tập A chứa các số chia hết cho 5: $A = \left\{ 5;10;15;20;25 \right\}$. Tập A có 5 phần tử.

Tập B chứa các số chia 5 dư 1 hoặc 4: $B = \left\{ 1;4;6;9;11;14;16;19;21;24;26 \right\}$.

Tập B có 11 phần tử.

Tập C chứa các số chia 5 dư 2 hoặc 3: $C = \left\{ 2;3;7;8;12;13;17;18;22;23 \right\}$.

Tập C có 10 phần tử.

Kiểm tra tổng số phần tử: $5 + 11 + 10 = 26$ (đúng).

Gọi a, b, c là 3 số được chọn để xếp vào 3 góc của tam giác.

Theo đề bài, ta cần tính $(a^{2} + b^{2} + c^{2})$ sao cho kết quả chia hết cho 5.

Điều này tương đương với việc tổng các số dư của $a^{2},b^{2},c^{2}$ khi chia cho 5 phải là một số chia hết cho 5.

Trong tập các số dư $\left\{ 0;1;4 \right\}$, tổng 3 số (có thể lặp lại) chia hết cho 5 khi và chỉ khi:

Chọn bộ 3 số dư là $(0;0;0)$ vì $0 + 0 + 0 = 0 \equiv 0\quad\left( {{mod}5} \right)$.

Chọn bộ 3 số dư là $(0;1;4)$ vì $0 + 1 + 4 = 5 \equiv 0\quad\left( {{mod}5} \right)$.

(Không có tổ hợp nào khác thỏa mãn).

Tương ứng với các bộ số dư trên, ta có 2 trường hợp chọn các số a, b, c từ tập S:

Trường hợp 1: Cả 3 số a, b, c đều thuộc tập A.

Số cách chọn 3 số phân biệt từ 5 số của tập A và xếp vào 3 tam giác ở 3 góc là: $A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ (cách).

Trường hợp 2: Trong 3 số a, b, c, có 1 số thuộc tập A, 1 số thuộc tập B và 1 số thuộc tập C.

Số cách chọn ra 3 số như vậy là: $C_{5}^{1} \times C_{11}^{1} \times C_{10}^{1} = 5 \times 11 \times 10 = 550$ (cách).

Với mỗi bộ 3 số vừa chọn, số cách xếp chúng vào 3 tam giác ở 3 góc là: $3! = 6$ (cách).

Số cách xếp thỏa mãn trong trường hợp này là: $550 \times 6 = 3300$ (cách).

Tổng số cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa chia hết cho 5 là $60 + 3300 = 3360$ (cách).

Đáp án cần điền là: 3360

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.