An và Bình rất giỏi Toán, cùng tham gia một trò chơi, đầu tiên An bốc ngẫu nhiên một thẻ từ

Câu hỏi số 978974:

Vận dụng

An và Bình rất giỏi Toán, cùng tham gia một trò chơi, đầu tiên An bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ nhất chứa sáu thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 6, tiếp theo Bình bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ hai chứa bốn thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 4. Gọi số An bốc được là a và số của Bình là b, sau đó hai người cùng tính giá trị của tích phân $I = {\int_{0}^{a}x^{b}}\text{d}x$. Nếu kết quả I là một số nguyên thì An thắng, ngược lại Bình thắng. Tính xác suất An thắng cuộc (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978974

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu khi An và Bình bốc thẻ.

Tính tích phân I theo a và b.

Tìm điều kiện để I là số nguyên (An thắng cuộc).

Xét các trường hợp của b để tìm số giá trị a thỏa mãn.

Tính xác suất.

Giải chi tiết

An bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ nhất (có 6 thẻ), nên có 6 cách chọn.

Bình bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ hai (có 4 thẻ), nên có 4 cách chọn.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 6 \times 4 = 24$.

Ta có $I = {\int_{0}^{a}x^{b}}\text{d}x = \left. \dfrac{x^{b + 1}}{b + 1} \right|_{0}^{a} = \dfrac{a^{b + 1}}{b + 1}$

Để An thắng cuộc thì I phải là một số nguyên, tương đương với $a^{b + 1}$ chia hết cho $b + 1$.

Vì $b \in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$ nên $b + 1 \in \left\{ 2;3;4;5 \right\}$.

Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $\left. b = 1\Rightarrow b + 1 = 2 \right.$.

Ta cần $a^{2}$ chia hết cho 2, suy ra a chia hết cho 2.

Vì $a \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$ nên $a \in \left\{ 2;4;6 \right\}$. Có 3 khả năng.

Trường hợp 2: $\left. b = 2\Rightarrow b + 1 = 3 \right.$.

Ta cần $a^{3}$ chia hết cho 3, suy ra a chia hết cho 3.

Vì $a \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$ nên $a \in \left\{ 3;6 \right\}$. Có 2 khả năng.

Trường hợp 3: $\left. b = 3\Rightarrow b + 1 = 4 \right.$.

Ta cần $a^{4}$ chia hết cho 4.

Xét các giá trị $a \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$:

$1^{4} = 1$ (không chia hết cho 4).

$2^{4} = 16$ (chia hết cho 4).

$3^{4} = 81$ (không chia hết cho 4).

$4^{4} = 256$ (chia hết cho 4).

$5^{4} = 625$ (không chia hết cho 4).

$6^{4} = 1296$ (chia hết cho 4).

Vậy $a \in \left\{ 2;4;6 \right\}$. Có 3 khả năng.

Trường hợp 4: $\left. b = 4\Rightarrow b + 1 = 5 \right.$.

Ta cần $a^{5}$ chia hết cho 5, suy ra a chia hết cho 5.

Vì $a \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$ nên $a \in \left\{ 5 \right\}$. Có 1 khả năng.

Gọi biến cố $A$: "An thắng cuộc".

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = 3 + 2 + 3 + 1 = 9$.

Xác suất để An thắng cuộc là: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} = 0,375 \approx 0,38$

Đáp án cần điền là: 0,38

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.