Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các

Câu hỏi số 978975:

Vận dụng

Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là $\dfrac{a}{b}$ ($a \in {\mathbb{N}},b \in {\mathbb{N}}^{*}$; $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó, giá trị của a + b bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978975

Phương pháp giải

Tìm số phần tử của không gian mẫu: số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh.

Phân tích điều kiện "tam giác có ba cạnh cùng màu":

Tam giác có 3 cạnh màu xanh (không tồn tại vì một tam giác tạo từ các đỉnh của đa giác chỉ có thể có tối đa 2 cạnh chung với đa giác).

Tam giác có 3 cạnh màu đỏ (tam giác có 3 cạnh đều là đường chéo của đa giác, tức là tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác).

Tính số tam giác không có cạnh nào chung với đa giác bằng cách lấy tổng số tam giác trừ đi số tam giác có 1 cạnh chung và số tam giác có 2 cạnh chung với đa giác.

Tính xác suất, tìm a, b và tính a + b.

Giải chi tiết

Số phần tử của không gian mẫu là tổng số tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác:

$n(\Omega) = C_{20}^{3} = 1140$.

Gọi biến cố A: "Tam giác được chọn có ba cạnh cùng màu".

Vì các cạnh của đa giác được sơn màu xanh, các đường chéo sơn màu đỏ nên một tam giác tạo từ các đỉnh của đa giác chỉ có thể có tối đa 2 cạnh màu xanh. Do đó, không tồn tại tam giác có 3 cạnh màu xanh.

Suy ra tam giác có ba cạnh cùng màu phải là tam giác có 3 cạnh màu đỏ (cả 3 cạnh đều là đường chéo của đa giác).

Điều này tương đương với việc tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều.

Ta đếm số tam giác không có cạnh nào chung với đa giác:

Số tam giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác (được tạo bởi 3 đỉnh liên tiếp): Có 20 tam giác.

Số tam giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác: Chọn 1 cạnh của đa giác có 20 cách.

Chọn đỉnh thứ 3 không kề với 2 đỉnh của cạnh vừa chọn có $20 - 4 = 16$ cách.

Vậy có $20 \times 16 = 320$ tam giác.

Số tam giác không có cạnh nào chung với đa giác là $n(A) = 1140 - 20 - 320 = 800$.

Xác suất của biến cố A là $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{800}{1140} = \dfrac{40}{57}$.

Theo giả thiết, $P(A) = \dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản nên $a = 40$ và $b = 57$.

Giá trị của biểu thức cần tính là $a + b = 40 + 57 = 97$.

Đáp án cần điền là: 97

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.