Một nghệ nhân có 9 chiếc đèn lồng với độ dài dây treo (cm) lần lượt là 10, 20, 30, …, 90.

Câu hỏi số 978976:

Vận dụng

Một nghệ nhân có 9 chiếc đèn lồng với độ dài dây treo (cm) lần lượt là 10, 20, 30, …, 90. Khung đèn là một tam giác đều ABC; gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên 6 chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào 6 vị trí A, B, C, M, N, P (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân đối hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là P. Giá trị của $\dfrac{6}{P}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978976

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu: số cách chọn và sắp xếp 6 chiếc đèn từ 9 chiếc đèn vào 6 vị trí.

Gọi chiều dài dây treo tại các đỉnh A, B, C là a, b, c. Từ điều kiện bài toán, suy ra a, b, c phải cùng tính chẵn lẻ (khi chia cho 10) và không tạo thành một cấp số cộng.

Liệt kê các tập con gồm 3 phần tử thỏa mãn điều kiện trên, từ đó tính số cách xếp cho các vị trí A, B, C.

Xác định số cách xếp cho M, N, P tương ứng.

Tính xác suất P và giá trị biểu thức $\dfrac{6}{P}$.

Giải chi tiết

Không gian mẫu \Omega là tập hợp các cách chọn 6 chiếc đèn từ 9 chiếc đèn phân biệt và gán vào 6 vị trí A, B, C, M, N, P.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = A_{9}^{6} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480$.

Để đơn giản, ta chia độ dài các dây treo cho 10, tập các độ dài (đơn vị chục cm) là $S = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.

Gọi $a,b,c \in S$ lần lượt là độ dài đèn tại các vị trí A, B, C.

Khi đó độ dài đèn tại các trung điểm M, N, P bắt buộc phải là $m = \dfrac{a + b}{2}$, $n = \dfrac{b + c}{2}$, $p = \dfrac{c + a}{2}$.

Để m, n, p là các số nguyên (có đèn tương ứng trong tập S), thì $a + b$, $b + c$, $c + a$ phải là các số chẵn. Điều này tương đương với a, b, c phải cùng tính chẵn hoặc cùng tính lẻ.

Theo yêu cầu, 6 đèn được gán phải đôi một khác nhau, tức là a, b, c, m, n, p phải là 6 số phân biệt.

Bản thân m, n, p luôn phân biệt với nhau (do a, b, c phân biệt).

Để m, n, p không trùng với các đỉnh a, b, c, thì a, b, c không được tạo thành một cấp số cộng theo bất kỳ thứ tự nào.

Ta tìm các bộ 3 số $\left\{ a;b;c \right\}$ thỏa mãn điều .kiện trên:

Trường hợp 1: a, b, c cùng chẵn.

Tập các số chẵn là $\left\{ 2;4;6;8 \right\}$. Có $C_{4}^{3} = 4$ tập con gồm 3 phần tử.

Các tập tạo thành cấp số cộng (bị loại) là: $\left\{ 2;4;6 \right\}$ (vì $2 + 6 = 2 \times 4$) và $\left\{ 4;6;8 \right\}$ (vì $4 + 8 = 2 \times 6$).

Còn lại $2$ tập hợp thỏa mãn là: $\left\{ 2;4;8 \right\}$ và $\left\{ 2;6;8 \right\}$.

Trường hợp 2: a, b, c cùng lẻ.

Tập các số lẻ là $\left\{ 1;3;5;7;9 \right\}$. Có $C_{5}^{3} = 10$ tập con gồm 3 phần tử.

Các tập tạo thành cấp số cộng (bị loại) là: $\left\{ 1;3;5 \right\}$, $\left\{ 3;5;7 \right\}$, $\left\{ 5;7;9 \right\}$, $\left\{ 1;5;9 \right\}$ (gồm $4$ tập).

Còn lại $10 - 4 = 6$ tập hợp thỏa mãn.

Tổng cộng có $2 + 6 = 8$ tập hợp $\left\{ a;b;c \right\}$ thỏa mãn.

Với mỗi tập hợp $\left\{ a;b;c \right\}$, ta có $3! = 6$ cách hoán vị để gán vào 3 vị trí A, B, C.

Với mỗi cách gán A, B, C, các vị trí M, N, P được xác định duy nhất bằng trung bình cộng tương ứng, và chắc chắn nhận các giá trị phân biệt trong S (không trùng nhau và không trùng đỉnh). Do đó có duy nhất 1 cách chọn đèn cho M, N, P.

Số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 8 \times 6 = 48$.

Xác suất để thỏa mãn điều kiện là $P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{48}{60480} = \dfrac{1}{1260}$

Vậy $\dfrac{6}{P} = 6 \times 1260 = 7560$

Đáp án cần điền là: 7560

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.