Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng

Câu hỏi số 978977:

Vận dụng

Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng tròn là cô giáo. Mỗi bé cầm hai cờ, một xanh một đỏ trên mỗi tay. Cô giáo bảo “giơ lên cao một cờ”, các bé giơ ngẫu nhiên một cờ. Gọi a là xác suất để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Giá trị của $\dfrac{2200}{a}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978977

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu.

Mô hình hóa bài toán: 10 em bé đứng cách đều nhau tạo thành một đa giác đều 10 đỉnh nội tiếp đường tròn. Bốn đỉnh tạo thành một hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng là 4 đầu mút của 2 đường chéo đi qua tâm (đường kính).

Đếm số lượng đường chéo đi qua tâm.

Phân tích điều kiện "không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh hình chữ nhật" để đếm số trường hợp thuận lợi thông qua số lượng các đường chéo có cờ cùng màu hoặc khác màu.

Tính xác suất a và suy ra kết quả biểu thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

Mỗi bé giơ ngẫu nhiên 1 trong 2 cờ (xanh hoặc đỏ). Có 10 bé nên số phần tử của không gian mẫu là:

$n(\Omega) = 2^{10} = 1024$.

10 bé đứng cách đều nhau tạo thành đa giác đều 10 đỉnh. Số đường chéo đi qua tâm của đa giác này là 5 đường chéo.

Bốn đỉnh của đa giác tạo thành một hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng là các đầu mút của 2 đường chéo đi qua tâm bất kỳ.

Xét mỗi đường chéo (gồm 2 bé ở 2 đầu mút), số cách giơ cờ của 2 bé này có $2^{2} = 4$ khả năng:

Cả 2 giơ cờ Đỏ (kí hiệu là ĐĐ): 1 cách.

Cả 2 giơ cờ Xanh (kí hiệu là XX): 1 cách.

1 bé giơ cờ Đỏ, 1 bé giơ cờ Xanh (kí hiệu là ĐX hoặc XĐ): 2 cách.

Để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật, thì không thể có 2 đường chéo nào cùng mang trạng thái (ĐĐ), và cũng không thể có 2 đường chéo nào cùng mang trạng thái (XX).

Gọi x, y, z lần lượt là số lượng đường chéo mang trạng thái (ĐĐ), (XX) và trạng thái khác màu (ĐX/XĐ).

Ta có tổng số đường chéo: $x + y + z = 5$.

Theo điều kiện bài toán, ta phải có $x \leq 1$ và $y \leq 1$. Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $x = 0$ và $\left. y = 0\Rightarrow z = 5 \right.$.

Số cách chọn: $2^{5} = 32$ (cách).

Trường hợp 2: $x = 1$ và $\left. y = 0\Rightarrow z = 4 \right.$.

Có $C_{5}^{1}$ cách chọn 1 đường chéo (ĐĐ). Các đường chéo còn lại khác màu.

Số cách chọn: $5 \times 1 \times 2^{4} = 80$ (cách).

Trường hợp 3: $x = 0$ và $\left. y = 1\Rightarrow z = 4 \right.$.

Tương tự trường hợp 2. Số cách chọn: $5 \times 1 \times 2^{4} = 80$ (cách).

Trường hợp 4: $x = 1$ và $\left. y = 1\Rightarrow z = 3 \right.$.

Có $C_{5}^{1}$ cách chọn đường chéo (ĐĐ), $C_{4}^{1}$ cách chọn đường chéo (XX), còn lại 3 đường chéo khác màu.

Số cách chọn: $5 \times 4 \times 2^{3} = 160$ (cách).

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố là $32 + 80 + 80 + 160 = 352$.

Xác suất cần tìm là: $a = \dfrac{352}{1024} = \dfrac{11}{32}$.

Giá trị của biểu thức cần tính là: $\dfrac{2200}{a} = 2200:\dfrac{11}{32} = 2200.\dfrac{32}{11} = 200.32 = 6400$.

Đáp án cần điền là: 6400

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.