Một con châu chấu nhảy lên cầu thang có 18 bậc. Mỗi lần nhảy con châu chấu có thể nhảy 1

Câu hỏi số 978978:

Vận dụng

Một con châu chấu nhảy lên cầu thang có 18 bậc. Mỗi lần nhảy con châu chấu có thể nhảy 1 bậc hoặc 2 bậc. Tính xác suất để con châu chấu hoàn thành 18 bậc thang với số lần nhảy 2 bậc không bé hơn số lần nhảy 1 bậc (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978978

Phương pháp giải

Gọi số lần nhảy 1 bậc là x, số lần nhảy 2 bậc là y.

Lập phương trình biểu diễn tổng số bậc thang: $x + 2y = 18$.

Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm $(x;y)$ của phương trình.

Tính không gian mẫu: Tổng số cách nhảy trong tất cả các trường hợp của $(x;y)$.

Sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách xếp các bước nhảy cho mỗi trường hợp.

Tìm các trường hợp thỏa mãn điều kiện $y \geq x$ để đếm số kết quả thuận lợi.

Tính xác suất và làm tròn theo yêu cầu đề bài.

Giải chi tiết

Gọi x là số lần nhảy 1 bậc và y là số lần nhảy 2 bậc của con châu chấu ($x,y \in {\mathbb{N}}$).

Tổng số bậc thang là 18, nên ta có phương trình: $x + 2y = 18$.

Từ đó suy ra $x = 18 - 2y$. Vì $x \geq 0$ nên $18 - 2y \geq 0$, tức là $0 \leq y \leq 9$.

Với mỗi cặp nghiệm $(x;y)$, tổng số lần nhảy là $x + y$.

Số cách sắp xếp các lần nhảy 1 bậc và 2 bậc là tổ hợp chập $y$ của $x + y$ lần nhảy, tức là $C_{x + y}^{y}$ (hoặc $C_{x + y}^{x}$).

Ta liệt kê các trường hợp để tính số phần tử của không gian mẫu:

$\left. y = 0\Rightarrow x = 18 \right.$. Số cách nhảy là $C_{18}^{0} = 1$.

$\left. y = 1\Rightarrow x = 16 \right.$. Số cách nhảy là $C_{17}^{1} = 17$.

$\left. y = 2\Rightarrow x = 14 \right.$. Số cách nhảy là $C_{16}^{2} = 120$.

$\left. y = 3\Rightarrow x = 12 \right.$. Số cách nhảy là $C_{15}^{3} = 455$.

$\left. y = 4\Rightarrow x = 10 \right.$. Số cách nhảy là $C_{14}^{4} = 1001$.

$\left. y = 5\Rightarrow x = 8 \right.$. Số cách nhảy là $C_{13}^{5} = 1287$.

$\left. y = 6\Rightarrow x = 6 \right.$. Số cách nhảy là $C_{12}^{6} = 924$.

$\left. y = 7\Rightarrow x = 4 \right.$. Số cách nhảy là $C_{11}^{7} = 330$.

$\left. y = 8\Rightarrow x = 2 \right.$. Số cách nhảy là $C_{10}^{8} = 45$.

$\left. y = 9\Rightarrow x = 0 \right.$. Số cách nhảy là $C_{9}^{9} = 1$.

Số phần tử của không gian mẫu là tổng số cách nhảy:

$n(\Omega) = 1 + 17 + 120 + 455 + 1001 + 1287 + 924 + 330 + 45 + 1 = 4181$.

Gọi biến cố A: "Con châu chấu hoàn thành 18 bậc thang với số lần nhảy 2 bậc không bé hơn số lần nhảy 1 bậc".

Điều kiện của biến cố A là $y \geq x$.

Xét các trường hợp thỏa mãn $y \geq x$:

$y = 6,x = 6$ ($6 \geq 6$): Có 924 cách.

$y = 7,x = 4$ ($7 \geq 4$): Có 330 cách.

$y = 8,x = 2$ ($8 \geq 2$): Có 45 cách.

$y = 9,x = 0$ ($9 \geq 0$): Có 1 cách.

Khi đó $n(A) = 924 + 330 + 45 + 1 = 1300$.

Xác suất của biến cố A là $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{1300}{4181} \approx 0,31$

Đáp án cần điền là: 0,31

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.