Đại Học Bách Khoa Hà Nội tổ chức phỏng vấn 8 học sinh, trong đó có hai học sinh trường A,

Câu hỏi số 978980:

Vận dụng

Đại Học Bách Khoa Hà Nội tổ chức phỏng vấn 8 học sinh, trong đó có hai học sinh trường A, hai học sinh trường B, hai học sinh trường C và hai học sinh trường D. Để tránh tình trạng gian lận, trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội yêu cầu sắp xếp chỗ như sau:

Xếp 8 bạn thành 2 hàng ngang, mỗi hàng bốn bạn.

Hai bạn cùng trường không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi đối diện nhau.

Số cách mà Đại Học Bách Khoa Hà Nội có thể sắp xếp bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978980

Phương pháp giải

Phân tích bài toán thành hai công đoạn:

Công đoạn 1: Xếp vị trí cho 4 trường (mỗi trường 2 vị trí) vào 8 ghế trống (2 hàng, mỗi hàng 4 ghế) sao cho thỏa mãn điều kiện không cùng trường khi ngồi cạnh nhau (cùng hàng) và đối diện nhau (cùng cột). Ta chia thành 3 trường hợp theo số lượng trường xuất hiện ở hàng 1 để đếm số sơ đồ trường.

Công đoạn 2: Xếp các học sinh cụ thể vào các vị trí đã phân cho trường của mình. Vì mỗi trường có 2 học sinh phân biệt, mỗi trường sẽ có số cách hoán vị học sinh là 2!.

Giải chi tiết

Gọi hàng trước là hàng 1, hàng sau là hàng 2. Các ghế ở mỗi hàng được đánh số từ 1 đến 4.

Ta tìm số cách sắp xếp các trường (A, B, C, D) vào 8 vị trí (mỗi trường chiếm 2 vị trí).

Xét các trường hợp phân bố trường ở hàng 1:

Trường hợp 1: Hàng 1 gồm 4 học sinh của 4 trường khác nhau.

Số cách xếp 4 trường A, B, C, D vào hàng 1 là 4! = 24 cách.

Hàng 2 cũng phải gồm 4 trường A, B, C, D. Để không có 2 trường giống nhau đối diện (cùng cột), hàng 2 phải là một hoán vị không có điểm chung với hàng 1.

Số cách xếp hàng 2 là $D_{4} = 4!\left( {\dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!}} \right) = 9$ cách.

Số sơ đồ trường thỏa mãn ở trường hợp 1 là $24 \times 9 = 216$ cách.

Trường hợp 2: Hàng 1 gồm 2 cặp học sinh cùng trường (ví dụ: gồm 2 trường A và 2 trường B).

Số cách chọn 2 trường có 2 học sinh ở hàng 1 là $C_{4}^{2} = 6$ cách.

Hàng 2 khi đó sẽ gồm 2 cặp học sinh của 2 trường còn lại (ví dụ: 2 trường C và 2 trường D).

Số cách xếp hàng 1 sao cho 2 trường giống nhau không đứng cạnh nhau là 2 cách (ví dụ xếp A, A, B, B thì chỉ có ABAB và BABA).

Số cách xếp hàng 2 sao cho 2 trường giống nhau không đứng cạnh nhau cũng là 2 cách.

Vì các trường ở hàng 1 và hàng 2 hoàn toàn khác nhau nên hiển nhiên không có trường nào đối diện trùng nhau.

Số sơ đồ trường thỏa mãn ở trường hợp 2 là $6 \times 2 \times 2 = 24$ cách.

Trường hợp 3: Hàng 1 gồm 2 học sinh của 1 trường, 1 học sinh trường X, 1 học sinh trường Y.

Số cách chọn 1 trường có 2 học sinh ở hàng 1 là 4 cách (ví dụ trường A).

Số cách chọn 1 trường có 2 học sinh ở hàng 2 là 3 cách (ví dụ trường D).

Khi đó, 2 trường còn lại (B và C) mỗi trường sẽ có 1 học sinh ở hàng 1 và 1 học sinh ở hàng 2.

Có $4 \times 3 = 12$ cách chọn tập hợp trường cho 2 hàng (ví dụ hàng 1 là {A, A, B, C} và hàng 2 là {D, D, B, C}).

Xét tập hợp hàng 1 là {A, A, B, C}, số cách xếp không có 2 trường A cạnh nhau là 6 cách (gồm: ABAC, ACAB, BACA, CABA, ABCA, ACBA).

Xét tập hợp hàng 2 là {D, D, B, C}, số cách xếp không có 2 trường D cạnh nhau cũng là 6 cách (gồm: DBDC, DCDB, DBCD, DCBD, BDCD, CDBD).

Ta ghép từng cách xếp của hàng 1 với hàng 2 và loại bỏ các trường hợp bị trùng cột (cột chứa B trùng B hoặc C trùng C). Kiểm tra chi tiết 36 cặp ghép này:

Với cấu trúc hàng 1 dạng ABAC, ACAB, BACA, CABA: mỗi cách xếp này có đúng 4 cách xếp hàng 2 thỏa mãn không trùng cột. (Tổng $4 \times 4 = 16$ cách ghép).

Với cấu trúc hàng 1 dạng ABCA, ACBA: mỗi cách xếp này có đúng 3 cách xếp hàng 2 thỏa mãn không trùng cột. (Tổng $2 \times 3 = 6$ cách ghép).

Tổng cộng có $16 + 6 = 22$ cách xếp cho một tập hợp trường cụ thể.

Số sơ đồ trường thỏa mãn ở trường hợp 3 là $12 \times 22 = 264$ cách.

Tổng số sơ đồ trường phân bố hợp lệ là $216 + 24 + 264 = 504$ sơ đồ.

Sau khi đã cố định sơ đồ trường, ta tiến hành xếp 8 học sinh cụ thể vào sơ đồ.

Mỗi trường có 2 học sinh phân biệt, do đó có 2! cách xếp học sinh vào 2 vị trí của trường đó.

Có 4 trường nên số cách hoán vị học sinh là $2! \times 2! \times 2! \times 2! = 16$ cách.

Tổng số cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn tất cả các yêu cầu là $504 \times 16 = 8064$ cách.

Đáp án cần điền là: 8064

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.