Cho một thanh sắt mỏng AB dài 21 cm. Trên AB lấy hai điểm M, N phân biệt làm mốc sao cho $AM = x$

Câu hỏi số 978981:

Vận dụng

Cho một thanh sắt mỏng AB dài 21 cm. Trên AB lấy hai điểm M, N phân biệt làm mốc sao cho $AM = x$ (cm), $MN = y$ (cm), $NB = z$ (cm) đồng thời x, y, z là các số nguyên dương (tham khảo hình vẽ). Xác suất để khi gập thanh sắt tại hai điểm mốc M, N thì đầu A có thể chạm vào đầu B là $\dfrac{a}{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{N}}$ và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản). Tính $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978981

Phương pháp giải

Sử dụng bài toán chia kẹo Euler để tìm số phần tử của không gian mẫu: Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x + y + z = 21$.

Lập luận điều kiện để khi gập thanh sắt tại M và N thì đầu A chạm được vào đầu B: Ba đoạn thẳng x, y, z phải tạo thành một tam giác, tức là độ dài của chúng phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Tìm số kết quả thuận lợi bằng cách giải hệ bất phương trình.

Tính xác suất, đối chiếu tìm a, b và tính a + b.

Giải chi tiết

Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đoạn thẳng AM, MN, NB.

Theo đề bài, ta có $x + y + z = 21$ và $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$.

Số phần tử của không gian mẫu là số nghiệm nguyên dương của phương trình $x + y + z = 21$.

Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, số nghiệm là $n(\Omega) = C_{21 - 1}^{3 - 1} = C_{20}^{2} = 190$.

Gọi biến cố X: "Khi gập thanh sắt tại M, N thì đầu A chạm vào đầu B".

Để đầu A chạm vào đầu B, ba đoạn thẳng AM, MN, NB phải tạo thành một tam giác. Khi đó x, y, z phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

$x + y > z$

$y + z > x$

$z + x > y$

Mặt khác, ta có $x + y + z = 21$, suy ra:

$\left. 21 - z > z\Rightarrow 2z < 21\Rightarrow z \leq 10 \right.$ (do $z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

$\left. 21 - x > x\Rightarrow 2x < 21\Rightarrow x \leq 10 \right.$ (do $x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

$\left. 21 - y > y\Rightarrow 2y < 21\Rightarrow y \leq 10 \right.$ (do $y \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vậy điều kiện để xảy ra biến cố $X$ là $1 \leq x,y,z \leq 10$.

Ta đếm số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn điều kiện trên.

Vì $z = 21 - (x + y)$ và $z \leq 10$ nên $\left. 21 - (x + y) \leq 10\Rightarrow x + y \geq 11 \right.$.

Đồng thời do $z \geq 1$ nên $x + y \leq 20$ (điều này luôn đúng vì $\left. x \leq 10,y \leq 10\Rightarrow x + y \leq 20 \right.$).

Ta xét các giá trị của x từ 1 đến 10:

Với $x = 1$, ta có $y \geq 10$. Vì $y \leq 10$ nên $\left. y = 10\Rightarrow z = 10 \right.$ (có $1$ cách).

Với $x = 2$, ta có $y \geq 9$. Vì $y \leq 10$ nên $y \in \left\{ 9;10 \right\}$ (có $2$ cách).

Với $x = 3$, ta có $y \geq 8$. Vì $y \leq 10$ nên $y \in \left\{ 8;9;10 \right\}$ (có $3$ cách).

...

Với $x = 10$, ta có $y \geq 1$. Vì $y \leq 10$ nên $y \in \left\{ 1;2;\ldots;10 \right\}$ (có 10 cách)

Vậy $n(X) = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \dfrac{10 \times 11}{2} = 55$.

Xác suất của biến cố X là $P(X) = \dfrac{n(X)}{n(\Omega)} = \dfrac{55}{190} = \dfrac{11}{38}$.

Theo giả thiết, $P(X) = \dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản nên $a = 11,b = 38$.

Giá trị cần tính là $a + b = 11 + 38 = 49$.

Đáp án cần điền là: 49

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.