Cho cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ có số hạng đầu $u_{1}$ bằng $2,$ công sai bằng $3.$ Giới

Câu hỏi số 979340:

Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ có số hạng đầu $u_{1}$ bằng $2,$ công sai bằng $3.$ Giới hạn của dãy số $\left( v_{n} \right),$ với $v_{n} = \dfrac{1}{u_{1} \cdot u_{2}} + \dfrac{1}{u_{2} \cdot u_{3}} + ... + \dfrac{1}{u_{n - 1} \cdot u_{n}},$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979340

Phương pháp giải

Biến đổi dãy số $\left( v_{n} \right)$ dựa vào tính chất của cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ và tính giới hạn của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có

$v_{n} = \dfrac{1}{u_{1} \cdot u_{2}} + \dfrac{1}{u_{2} \cdot u_{3}} + ... + \dfrac{1}{u_{n - 1} \cdot u_{n}} = \dfrac{1}{2 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 8} + ... + \dfrac{1}{u_{n - 1} \cdot \left( {u_{n - 1} + 3} \right)}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{1}{3}\left\lbrack {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{u_{n - 1}} - \dfrac{1}{u_{n - 1} + 3}} \right)} \right\rbrack} \\ {= \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3}} \right).} \end{array}$

Suy ra $\lim v_{n} = \lim\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2} - 0} \right) = \dfrac{1}{6}.$

Đáp án cần điền là: 1/6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.