Cho hai số thực $a,\ b$ lớn hơn $1,$ thỏa mãn $\dfrac{1}{\log_{ab}a} + \dfrac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} =

Câu hỏi số 979341:

Vận dụng

Cho hai số thực $a,\ b$ lớn hơn $1,$ thỏa mãn $\dfrac{1}{\log_{ab}a} + \dfrac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} = \dfrac{9}{4}.$ Khi đó $\log_{a}b$ bằng

A. $\dfrac{9}{4}.$

B. $\dfrac{1}{2}.$

C. $\dfrac{1}{3}.$

D. $\dfrac{1}{4}.$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979341

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bằng các công thức liên quan đến logarit $\log_{a}b = \dfrac{1}{\log_{b}a},$ $\log_{a^{m}}b = \dfrac{1}{m}\log_{a}b,$ $\log_{a}\left( {bc} \right) = \log_{a}b + \log_{a}c$

Đưa về phương trình chứa logarit, đặt ẩn phụ kèm điều kiện và giải phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

$\dfrac{1}{\log_{ab}a} = \log_{a}\left( {ab} \right) = \log_{a}a + \log_{a}b = 1 + \log_{a}b.$

$\dfrac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} = \dfrac{1}{\log_{{({ab})}^{\dfrac{1}{4}}}b} = \dfrac{1}{4\log_{ab}b} = \dfrac{1}{4}\log_{b}\left( {ab} \right)$

$= \dfrac{1}{4}\left( {\log_{b}a + \log_{b}b} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\log_{b}a + 1} \right) = \dfrac{1}{4}\log_{b}a + \dfrac{1}{4}.$

Suy ra $\dfrac{1}{\log_{ab}a} + \dfrac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} = \dfrac{9}{4}$

$\left. \Leftrightarrow 1 + \log_{a}b + \dfrac{1}{4}\log_{b}a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow\log_{a}b + \dfrac{1}{4}\log_{b}a = 1. \right.$

Đặt $t = \log_{a}b > 0\ \left( {a,\ b > 1} \right)$

$\left. \Rightarrow t + \dfrac{1}{4t} = 1\Leftrightarrow 4t^{2} - 4t + 1 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\ \left( {TM} \right). \right.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.