Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \left| {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m} \right|$ luôn

Câu hỏi số 979352:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \left| {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m} \right|$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$ là

A. $18.$

B. $19.$

C. $20.$

D. $21.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979352

Phương pháp giải

Hàm số $y = \left| {f(x)} \right|$ luôn đồng biến trên miền $K$ nếu $\left\{ \begin{matrix} {f(x) \geq 0} \\ {f'(x) \geq 0} \end{matrix} \right.$ (hàm trong dấu giá trị tuyệt đối không âm và đồng biến) hoặc $\left\{ \begin{matrix} {f(x) \leq 0} \\ {f'(x) \leq 0} \end{matrix} \right.$ (hàm trong dấu giá trị tuyệt đối không dương và nghịch biến).

Sử dụng phương pháp cô lập tham số và nguyên lí đánh giá để kết luận cho giá trị của tham số.

Giải chi tiết

Ta có hàm số $y = \left| {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m} \right|$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( {1;\ + \infty} \right)$ nếu:

- Trường hợp $1:$ $\left\{ \begin{matrix} {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m \geq 0\ \ \ \ } \\ {\left( {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m} \right)' \geq 0} \end{matrix} \right.\ \forall\ x > 1$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {1^{3} - m \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 2m \geq 0\ \ \ \ } \\ {3x^{2} - 2mx + 12 \geq 0\ \forall\ x > 1} \end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {1^{3} - m \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 2m \geq 0} \\ {\dfrac{3x^{2} + 12}{2x} \geq m\ \forall\ x > 1\ \ \ \ \ \ } \end{matrix} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow - 13 \leq m \leq \min\limits_{({1;\ + \infty})}\dfrac{3x^{2} + 12}{2x} \right.$$\left. \Rightarrow - 13 \leq m \leq 6. \right.$

- Trường hợp $2:$ $\left\{ \begin{matrix} {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m \leq 0\ \ \ \ } \\ {\left( {x^{3} - mx^{2} + 12x + 2m} \right)' \leq 0} \end{matrix} \right.\ \forall\ x > 1$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {1^{3} - m \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 2m \leq 0\ \ \ \ } \\ {3x^{2} - 2mx + 12 \leq 0\ \forall\ x > 1} \end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {1^{3} - m \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 2m \leq 0} \\ {\dfrac{3x^{2} + 12}{2x} \leq m\ \forall\ x > 1\ \ \ \ \ \ } \end{matrix} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {m \leq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {m \geq \max\limits_{({1;\ + \infty})}\dfrac{3x^{2} + 12}{2x}} \end{matrix} \right. \right.$

Tuy nhiên không tồn tại giá trị lớn nhất của $\dfrac{3x^{2} + 12}{2x}$ trên $\left( {1;\ + \infty} \right).$

Suy ra có $20$ giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.