(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống). Số mũ của 5 trong phân

Câu hỏi số 980213:

Vận dụng

1010 1011 1012 1009 1008

(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).

Số mũ của 5 trong phân tích thành thừa số nguyên tố của $(2025!) \times (2026!)$ là

Đáp án đúng là: 1010

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980213

Phương pháp giải

Sử dụng công thức Legendre tính số mũ của số nguyên tố p trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n!

$v_{p}(n!) = \left\lbrack \dfrac{n}{p} \right\rbrack + \left\lbrack \dfrac{n}{p^{2}} \right\rbrack + \left\lbrack \dfrac{n}{p^{3}} \right\rbrack + ...$ (trong đó $\lbrack x\rbrack$ là phần nguyên của $x$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Số mũ của một số nguyên tố trong một tích bằng tổng số mũ của số nguyên tố đó trong từng thừa số.

Giải chi tiết

Bước 1: Tính số mũ của 5 trong phân tích thành thừa số nguyên tố của 2025!.

Áp dụng công thức với $n = 2025$ và $p = 5$:

$v_{5}(2025!) = \left\lbrack \dfrac{2025}{5} \right\rbrack + \left\lbrack \dfrac{2025}{25} \right\rbrack + \left\lbrack \dfrac{2025}{125} \right\rbrack + \left\lbrack \dfrac{2025}{625} \right\rbrack$ (ta dừng ở 625 vì $5^{5} = 3125 > 2025$)

$v_{5}(2025!) = 405 + 81 + 16 + 3 = 505$.

Bước 2: Tính số mũ của 5 trong phân tích thành thừa số nguyên tố của 2026!.

Ta có $2026! = 2025! \times 2026$.

Vì 2026 có chữ số tận cùng là 6 nên 2026 không chia hết cho 5. Nghĩa là số mũ của 5 trong phân tích ra thừa số nguyên tố của số 2026 bằng 0.

Do đó, số mũ của 5 trong 2026! đúng bằng số mũ của 5 trong 2025!, và bằng 505.

Bước 3: Tính số mũ của 5 trong tích $(2025!) \times (2026!)$.

Số mũ của 5 trong tích bằng tổng các số mũ vừa tìm được: $505 + 505 = 1010$.

Vậy số cần điền vào chỗ trống là 1010.

Đáp án cần chọn là: 1010

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.