(Xét tính đúng/sai của các mệnh đề).Cho $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$; $\dfrac{\pi}{2} < b < \pi$

Câu hỏi số 980215:

Vận dụng

(Xét tính đúng/sai của các mệnh đề).

Cho $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$; $\dfrac{\pi}{2} < b < \pi$ và $\tan a = 3$; $\tan b = - 2$.

	Đúng	Sai
a) $\tan(a + b) = - 1$.
b) $\sin(a - b) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980215

Phương pháp giải

Sử dụng công thức cộng lượng giác:

$\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$

$\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản $1 + \tan^{2}x = \dfrac{1}{\cos^{2}x}$ và xét dấu các giá trị lượng giác theo góc phần tư để tính $\sin x,\cos x$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b} = \dfrac{3 + ( - 2)}{1 - 3 \cdot ( - 2)} = \dfrac{1}{1 + 6} = \dfrac{1}{7}$.

Ta thấy $\dfrac{1}{7} \neq - 1$, do đó mệnh đề a sai.

b) Vì $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\sin a > 0,\cos a > 0$.

Ta có $\left. 1 + \tan^{2}a = \dfrac{1}{\cos^{2}a}\Rightarrow\cos^{2}a = \dfrac{1}{1 + 3^{2}} = \dfrac{1}{10} \right.$.

Vì $\cos a > 0$ nên $\cos a = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

Suy ra $\sin a = \tan a \cdot \cos a = 3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < b < \pi$ nên $\sin b > 0,\cos b < 0$.

Ta có $\left. 1 + \tan^{2}b = \dfrac{1}{\cos^{2}b}\Rightarrow\cos^{2}b = \dfrac{1}{1 + {( - 2)}^{2}} = \dfrac{1}{5} \right.$.

Vì $\cos b < 0$ nên $\cos b = - \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

Suy ra $\sin b = \tan b \cdot \cos b = ( - 2) \cdot \left( {- \dfrac{1}{\sqrt{5}}} \right) = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

Xét $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$

$= \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \left( {- \dfrac{1}{\sqrt{5}}} \right) - \dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$= \dfrac{- 3}{\sqrt{50}} - \dfrac{2}{\sqrt{50}} = \dfrac{- 5}{\sqrt{50}}$

$= \dfrac{- 5}{5\sqrt{2}} = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó mệnh đề b đúng.

Đáp án cần chọn là: S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.