Cho số thực a và hàm số $f(x) = \begin{cases} {2x} & {\text{khi~}x \leq 0} \\ {a(x - x^{2})} &

Câu hỏi số 980217:

Vận dụng

Cho số thực a và hàm số $f(x) = \begin{cases} {2x} & {\text{khi~}x \leq 0} \\ {a(x - x^{2})} & {\text{khi~}x > 0} \end{cases}$. Tích phân ${\int_{- 1}^{1}f}(x)\text{d}x$ bằng

A. $\dfrac{a}{6} + 1$.

B. $\dfrac{a}{6} - 1$.

C. $\dfrac{2a}{3} - 1$.

D. $\dfrac{2a}{3} + 1$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980217

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tách cận của tích phân: ${\int_{a}^{c}f}(x)\text{d}x = {\int_{a}^{b}f}(x)\text{d}x + {\int_{b}^{c}f}(x)\text{d}x$ (với $a < b < c$).

Chia khoảng lấy tích phân thành $\lbrack - 1;0\rbrack$ và [0;1] để thay công thức hàm $f(x)$ tương ứng.

Sử dụng công thức tích phân cơ bản ${\int x^{n}}\text{d}x = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$.

Giải chi tiết

Ta có: ${\int_{- 1}^{1}f}(x)\text{d}x = {\int_{- 1}^{0}f}(x)\text{d}x + {\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x$.

Trên đoạn $\lbrack - 1;0\rbrack$, hàm số nhận giá trị $f(x) = 2x$, do đó:

${\int_{- 1}^{0}f}(x)\text{d}x = {\int_{- 1}^{0}2}x\text{d}x = x^{2}|_{- 1}^{0} = 0^{2} - {( - 1)}^{2} = - 1$.

Trên đoạn [0; 1], hàm số nhận giá trị $f(x) = a(x - x^{2})$, do đó:

${\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x = {\int_{0}^{1}a}(x - x^{2})\text{d}x = \left. {a\left( {\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}} \right)} \right|_{0}^{1} = a\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - 0} \right) = a \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{a}{6}$.

Suy ra: ${\int_{- 1}^{1}f}(x)\text{d}x = - 1 + \dfrac{a}{6} = \dfrac{a}{6} - 1$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.