(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).Bạn An tìm chữ số tận cùng của tất cả

Câu hỏi số 980222:

Vận dụng

(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).

Bạn An tìm chữ số tận cùng của tất cả 2025 số sau $1^{1!},2^{2!},3^{3!},\ldots,2025^{2025!}$.

Tổng các chữ số bạn An vừa tìm được là ....................

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6691

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980222

Phương pháp giải

Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng $a^{a!}$.

Với $a = 1$: $1^{1!} = 1^{1} = 1$ (chữ số tận cùng là 1).

Với $a = 2$: $2^{2!} = 2^{2} = 4$ (chữ số tận cùng là $4$).

Với $a = 3$: $3^{3!} = 3^{6} = (3^{4}) \cdot 3^{2} = 81 \cdot 9 = 729$ (chữ số tận cùng là $9$).

Với $a \geq 4$: số mũ a! luôn chia hết cho $4$ (vì $a! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\cdots a$ chứa thừa số $4$).

Đặt $a! = 4k$ ($k \in {\mathbb{N}}^{*}$).

Ta xét chữ số tận cùng của $a^{4k}$ với $a \geq 4$:

Nếu chữ số tận cùng của a thuộc $\left\{ 0;1;5;6 \right\}$ thì $a^{4k}$ cũng có chữ số tận cùng tương ứng là 0; 1; 5; 6.

Nếu chữ số tận cùng của a thuộc $\left\{ 2;4;8 \right\}$ (chẵn, khác $0$) thì $a^{4k}$ có chữ số tận cùng là 6.

Nếu chữ số tận cùng của a thuộc $\left\{ 3;7;9 \right\}$ (lẻ, khác 1, 5) thì $a^{4k}$ có chữ số tận cùng là 1.

Phân loại các số a từ 4 đến 2025 theo chữ số tận cùng để tính tổng.

Giải chi tiết

Ta có dãy số: $A_{1} = 1^{1!},A_{2} = 2^{2!},A_{3} = 3^{3!},\ldots,A_{2025} = 2025^{2025!}$.

Gọi $T_{a}$ là chữ số tận cùng của số $A_{a} = a^{a!}$.

Với $a = 1$: $\left. A_{1} = 1^{1} = 1\Rightarrow T_{1} = 1 \right.$.

Với $a = 2$: $\left. A_{2} = 2^{2} = 4\Rightarrow T_{2} = 4 \right.$.

Với $a = 3$: $\left. A_{3} = 3^{6} = 729\Rightarrow T_{3} = 9 \right.$.

Với $a \geq 4$: $a! \equiv 0\quad\left( {{mod}4} \right)$. Đặt $a! = 4k$ ($k \in {\mathbb{N}}^{*}$).

Ta xét chữ số tận cùng của $a^{4k}$.

Từ 4 đến 2025, có 2022 số.

Các số này kết thúc bởi các chữ số từ 0 đến 9. Cứ mỗi chu kỳ 10 số liên tiếp (tận cùng từ 0 đến 9), ta có chuỗi chữ số tận cùng của $a^{4k}$ như sau:

Tận cùng là 0: $\left. 0^{4k} \equiv 0\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 0 \right.$.

Tận cùng là 1: $\left. 1^{4k} \equiv 1\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 1 \right.$.

Tận cùng là 2: $\left. 2^{4k} \equiv 6\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 6 \right.$.

Tận cùng là $3$: $\left. 3^{4k} \equiv 1\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 1 \right.$.

Tận cùng là $4$: $\left. 4^{4k} \equiv 6\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 6 \right.$.

Tận cùng là $5$: $\left. 5^{4k} \equiv 5\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 5 \right.$.

Tận cùng là $6$: $\left. 6^{4k} \equiv 6\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 6 \right.$.

Tận cùng là $7$: $\left. 7^{4k} \equiv 1\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 1 \right.$.

Tận cùng là $8$: $\left. 8^{4k} \equiv 6\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 6 \right.$.

Tận cùng là $9$: $\left. 9^{4k} \equiv 1\quad\left( {{mod}10} \right)\Rightarrow T_{a} = 1 \right.$.

Vậy tổng các chữ số tận cùng trong một chu kỳ 10 số (từ chữ số tận cùng 0 đến 9) là:

$S_{chu_{k}y} = 0 + 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 + 6 + 1 = 33$.

Ta chia các số từ 1 đến 2025 thành các nhóm:

Nhóm 1: $a = 1,2,3$. Tổng chữ số tận cùng là $T_{1} + T_{2} + T_{3} = 1 + 4 + 9 = 14$.

Nhóm 2: từ $a = 4$ đến $a = 2025$.

Tập các số từ 4 đến 2025 gồm các phần sau:

Từ $a = 4$ đến $a = 9$: chữ số tận cùng tương ứng là 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Tổng chữ số tận cùng của phần này là: $T_{4} + T_{5} + T_{6} + T_{7} + T_{8} + T_{9} = 6 + 5 + 6 + 1 + 6 + 1 = 25$.

Từ $a = 10$ đến $a = 2019$: có $\dfrac{(2019 - 10 + 1)}{10} = 201$ chu kỳ đầy đủ từ $0$ đến $9$.

Tổng chữ số tận cùng của phần này là: $201.S_{chuky} = 201.33 = 6633$.

Từ $a = 2020$ đến $a = 2025$: các số này tận cùng bởi 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Tổng chữ số tận cùng của phần này là: $T_{2020} + T_{2021} + T_{2022} + T_{2023} + T_{2024} + T_{2025} = 0 + 1 + 6 + 1 + 6 + 5 = 19$.

Tổng cộng tất cả các chữ số tận cùng bạn An tìm được là:

$S = (T_{1} + T_{2} + T_{3}) + (T_{4} + \ldots + T_{9}) + (T_{10} + \ldots + T_{2019}) + (T_{2020} + \ldots + T_{2025})$

$S = 14 + 25 + 6633 + 19 = 6691$.

Đáp án cần điền là: 6691

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.