(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).Số bộ số nguyên $(a,b,c)$ thỏa mãn $( - a + b

Câu hỏi số 980223:

Vận dụng

(Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).

Số bộ số nguyên $(a,b,c)$ thỏa mãn $( - a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) = 2^{100} \cdot 3^{101}$ là ....................

Đáp án:

Đáp án đúng là: 101929212

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980223

Phương pháp giải

Đặt $x = - a + b + c,y = a - b + c,z = a + b - c$.

Từ đó tính a, b, c theo x, y, z. Tìm điều kiện của x, y, z để a, b, c là số nguyên.

Chuyển bài toán về đếm số nghiệm nguyên của phương trình $xyz = 2^{100} \cdot 3^{101}$ với điều kiện các biến thỏa mãn cùng tính chẵn lẻ.

Giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} {x = - a + b + c} \\ {y = a - b + c} \\ {z = a + b - c} \end{array} \right.$.

Khi đó a, b, c là nghiệm của hệ:

$\left. y + z = 2a\Rightarrow a = \dfrac{y + z}{2} \right.$

$\left. x + z = 2b\Rightarrow b = \dfrac{x + z}{2} \right.$

$\left. x + y = 2c\Rightarrow c = \dfrac{x + y}{2} \right.$

Để a, b, c là các số nguyên thì x, y, z phải cùng tính chẵn lẻ.

Phương trình trở thành $xyz = 2^{100} \cdot 3^{101}$.

Do tích xyz là số chẵn nên x, y, z không thể cùng lẻ.

Vậy x, y, z phải cùng chẵn.

Đặt $x = 2x_{1},y = 2y_{1},z = 2z_{1}$ với $x_{1},y_{1},z_{1} \in {\mathbb{Z}}$.

Ta có $\left. (2x_{1})(2y_{1})(2z_{1}) = 2^{100} \cdot 3^{101}\Leftrightarrow x_{1}y_{1}z_{1} = 2^{97} \cdot 3^{101} \right.$.

Nhiệm vụ bây giờ là tìm số bộ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ nguyên thỏa mãn phương trình trên.

Vì tích là một số nguyên dương, nên trong ba số $x_{1},y_{1},z_{1}$ có thể có $3$ số dương, hoặc 1 số dương và 2 số âm.

TH1: Cả 3 số đều dương.

Số $2^{97} \cdot 3^{101}$ được phân tích thành $x_{1} \cdot y_{1} \cdot z_{1}$.

Mỗi thừa số 2 trong số 97 thừa số 2 có thể được chia cho một trong ba biến $x_{1},y_{1},z_{1}$.

Bài toán chia kẹo Euler: Số cách chia là $C_{97 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{99}^{2}$.

Tương tự, số cách chia 101 thừa số $3$ cho ba biến là $C_{101 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{103}^{2}$.

Số bộ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ dương là $C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2}$.

TH2: Có 1 số dương, 2 số âm.

Ta chọn 2 biến nhận giá trị âm, có $C_{3}^{2} = 3$ cách chọn.

Với mỗi cách chọn dấu, giá trị tuyệt đối của ba biến $\left| x_{1} \middle| , \middle| y_{1} \middle| , \middle| z_{1} \right|$ phải thỏa mãn $\left| x_{1} \middle| \middle| y_{1} \middle| \middle| z_{1} \middle| = 2^{97} \cdot 3^{101} \right.$.

Số bộ $\left. ( \middle| x_{1} \middle| , \middle| y_{1} \middle| , \middle| z_{1} \middle| ) \right.$ là $C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2}$.

Số bộ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ trong trường hợp này là $3 \cdot C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2}$.

Tổng số bộ là: $C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2} + 3 \cdot C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2} = 4 \cdot C_{99}^{2} \cdot C_{103}^{2} = 4 \cdot 4851 \cdot 5253 = 101929212$.

Đáp án cần điền là: 101929212

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.