Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.Cho hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và $\left.

Câu hỏi số 980225:

Vận dụng

Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và $\left. g(x) = \middle| f(x) \middle| - f'(x) \right.$. Biết rằng $g(0) = f(0) = 1$; phương trình $\left| f(x) \middle| = 3 \right.$ có đúng $3$ nghiệm thực phân biệt và $g(x)$ không có đạo hàm tại đúng 3 điểm. Khi đó giá trị của $g(1)$ bằng ................................................................

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980225

Phương pháp giải

Phân tích các giả thiết để tìm $f(x)$.

$\left. f(0) = 1\Rightarrow c = 1 \right.$.

$\left. g(0) = 1\Rightarrow \middle| f(0) \middle| - f'(0) = 1\Rightarrow 1 - b = 1\Rightarrow b = 0 \right.$.

Suy ra $f(x) = x^{3} + ax^{2} + 1$ và $f'(x) = 3x^{2} + 2ax$.

$\left| f(x) \middle| = 3 \right.$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi đồ thị f(x) cắt các đường $y = 3$ và $y = - 3$ tại tổng cộng 3 điểm.

Vì f(x) là hàm bậc 3 có hệ số $x^{3}$ dương, nên $f(x)$ có 2 điểm cực trị. Gọi là $x_{1},x_{2}$.

Để có đúng 3 nghiệm, các đường $y = 3$ và $y = - 3$ phải tiếp xúc với các điểm cực trị của $f(x)$. Hoặc có một cực trị tiếp xúc với một đường, và đường kia không cắt thêm (vô lý vì đường kia luôn cắt). Cụ thể, $f(x) = \pm 3$ có 3 nghiệm khi giá trị cực đại bằng 3 và giá trị cực tiểu bằng -3.

Hàm số $\left. g(x) = \middle| f(x) \middle| - f'(x) \right.$ không có đạo hàm tại đúng 3 điểm.

Điểm không có đạo hàm của $g(x)$ chính là các nghiệm của $f(x) = 0$ (với điều kiện nghiệm đơn). Ta cần $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Hàm $f(x) = x^{3} + ax^{2} + 1$ có giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu, suy ra phương trình $f(x) = 0$ có 3 nghiệm.

Giải chi tiết

Từ giả thiết, ta có $f(0) = c = 1$.

Ta có $f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b$.

$\left. g(0) = \middle| f(0) \middle| - f'(0) = 1 - b \right.$.

Mà $g(0) = 1$, suy ra $\left. 1 - b = 1\Rightarrow b = 0 \right.$.

Vậy $f(x) = x^{3} + ax^{2} + 1$.

$f'(x) = 3x^{2} + 2ax = x(3x + 2a)$.

Các điểm cực trị của $f(x)$ là $x = 0$ và $x = - \dfrac{2a}{3}$.

Khi đó 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {- \dfrac{2}{3}a;\dfrac{4a^{3}}{27} + 1} \right)$

Phương trình $\left| f(x) \middle| = 3\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {f(x) = 3} \\ {f(x) = - 3} \end{array} \right. \right.$.

Để phương trình này có đúng 3 nghiệm thực phân biệt, đường thẳng $y = 3$ và $y = - 3$ phải tạo ra tổng cộng 3 giao điểm với đồ thị $f(x)$.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: Nếu $\dfrac{4a^{3}}{27} + 1 < - 3$, thì $y = - 3$ cắt đồ thị tại 3 điểm, $y = 3$ cắt tại 1 điểm (tổng 4 điểm, loại).

TH2: Nếu $\left. \dfrac{4a^{3}}{27} + 1 = - 3\Leftrightarrow a^{3} = - 27\Leftrightarrow a = - 3 \right.$.

Khi đó đồ thị có cực tiểu bằng -3.

Đường thẳng $y = - 3$ tiếp xúc tại 1 điểm và cắt tại 1 điểm (2 nghiệm).

$y = 3$ cắt đồ thị tại 1 điểm (1 nghiệm).

Đường thẳng Tổng số nghiệm của $\left| f(x) \middle| = 3 \right.$ là $2 + 1 = 3$ nghiệm. Thỏa mãn!

TH3: Nếu $- 3 < \dfrac{4a^{3}}{27} + 1 < 3$.

Khi đó $y = 3$ cắt tại 1 điểm, $y = - 3$ cắt tại 1 điểm. Tổng 2 nghiệm (loại).

Nếu $\left. \dfrac{4a^{3}}{27} + 1 = 3\Leftrightarrow a^{3} = \dfrac{27}{2}\Rightarrow a = \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}} \right.$.

Khi đó $y = 3$ có 2 nghiệm, $y = - 3$ có 1 nghiệm. Tổng 3 nghiệm. Thỏa mãn!

TH4: Nếu $\dfrac{4a^{3}}{27} + 1 > 3$. Tổng số nghiệm là 4 (loại).

Kiểm tra điều kiện "$g(x)$ không có đạo hàm tại đúng $3$ điểm".

$g(x)$ không có đạo hàm tại các nghiệm đơn của phương trình $f(x) = 0$.

Ta cần $f(x) = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi $y_{CD} \cdot y_{CT} < 0$.

Ta có $y_{1} = 1$, $y_{2} = \dfrac{4a^{3}}{27} + 1$.

Cần $\left. \dfrac{4a^{3}}{27} + 1 < 0\Leftrightarrow a^{3} < - \dfrac{27}{4} \right.$.

Xét trường hợp $\left. a = - 3\Rightarrow a^{3} = - 27 < - \dfrac{27}{4} \right.$ (Thỏa mãn).

Xét trường hợp $a^{3} = \dfrac{27}{2} > 0$ (Không thỏa mãn vì lúc này cực tiểu là 1, cực đại là 3, cả hai đều dương, nên $f(x) = 0$ chỉ có 1 nghiệm).

Vậy ta nhận giá trị $a = - 3$.

Hàm số là $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$.

$f'(x) = 3x^{2} - 6x$.

Vậy $g(1) = \left| {f(1)} \right| - f'(1) = \left| {1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1} \right| - (3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1) = 4$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.