(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống). Cho đa thức $f(x)$ bậc $n$

Câu hỏi số 980226:

Vận dụng

$1$ $2$ $n$ $\dfrac{1}{n + 1}$ $\dfrac{1}{n}$ $n + 1$

(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).

Cho đa thức $f(x)$ bậc $n$ thỏa mãn $f(0) = 1$; ${\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x = 2$ và

${\int_{0}^{1}x}f(x)\text{d}x = {\int_{0}^{1}x^{2}}f(x)\text{d}x = \ldots = {\int_{0}^{1}x^{n}}f(x)\text{d}x = 0$.

Khi đó, giá trị của $\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}$ bằng

Đáp án đúng là: $2$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980226

Phương pháp giải

Giả sử đa thức $f(x)$ có dạng khai triển là $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}$.

Từ giả thiết $f(0) = 1$ để suy ra hệ số tự do $a_{0}$.

Biến đổi tích phân cần tính bằng cách tách ${\lbrack f(x)\rbrack}^{2} = f(x) \cdot f(x)$, sau đó thay một thừa số $f(x)$ bằng biểu thức dạng đa thức. Sử dụng tính chất của tích phân và các giả thiết tích phân bằng $0$ để triệt tiêu các đại lượng, từ đó tìm được kết quả.

Giải chi tiết

Vì $f(x)$ là đa thức bậc $n$ nên ta giả sử:

$f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}$ (với $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ là các hằng số thực).

Theo giả thiết, ta có $\left. f(0) = 1\Rightarrow a_{0} = 1 \right.$.

Khi đó, $f(x) = 1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}$.

Xét tích phân cần tính: ${\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}} = {\int\limits_{0}^{1}{f(x).f(x)dx}}$

Thay $f(x) = 1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}$ vào một trong hai thừa số $f(x)$, ta được:

${\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}} = {\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}} \right\rbrack.f(x)dx}}$

$= {\int_{0}^{1}{(f(}}x) + a_{1}xf(x) + a_{2}x^{2}f(x) + \ldots + a_{n}x^{n}f(x))\text{d}x$

$= {\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x + a_{1}{\int_{0}^{1}x}f(x)\text{d}x + a_{2}{\int_{0}^{1}x^{2}}f(x)\text{d}x + \ldots + a_{n}{\int_{0}^{1}x^{n}}f(x)\text{d}x$

Theo giả thiết của bài toán, ta có:

${\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x = 2$

${\int_{0}^{1}x}f(x)\text{d}x = {\int_{0}^{1}x^{2}}f(x)\text{d}x = \ldots = {\int_{0}^{1}x^{n}}f(x)\text{d}x = 0$

Thay các giá trị này vào biểu thức trên, ta có ${\int\limits_{0}^{1}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}} = {\int_{0}^{1}f}(x)\text{d}x = 2$.

Vậy giá trị cần điền vào chỗ trống là $2$.

Đáp án cần chọn là: $2$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.