Cho dãy số $\left\{ a_{n} \right\}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {a_{0} = 20} \\ {a_{n + 1} = a_{n} - a_{n

Câu hỏi số 980227:

Vận dụng

Cho dãy số $\left\{ a_{n} \right\}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {a_{0} = 20} \\ {a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1},n \in {\mathbb{Z}}^{+}} \end{array} \right.$. Biết rằng

$a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{2024} = 2024$.

Khi đó giá trị của $a_{2}$ bằng bao nhiêu?

A. 991.

B. 992.

C. 1002.

D. 1000

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980227

Phương pháp giải

Khai triển một số số hạng đầu tiên của dãy số bằng cách đặt $a_{1}$ là một ẩn (ví dụ $a_{1} = x$) để tìm quy luật tuần hoàn của dãy số.

Tính tổng của các số hạng trong một chu kỳ.

Sử dụng phép chia có dư để phân tích tổng $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{2024}$ theo chu kỳ, lập phương trình tìm ra $x$ (chính là $a_{1}$), từ đó tính được $a_{2}$.

Giải chi tiết

Gọi $a_{1} = x$. Dựa vào công thức truy hồi $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1}$, ta tính được các số hạng tiếp theo của dãy số như sau:

$a_{0} = 20$

$a_{1} = x$

$a_{2} = a_{1} - a_{0} = x - 20$

$a_{3} = a_{2} - a_{1} = (x - 20) - x = - 20$

$a_{4} = a_{3} - a_{2} = - 20 - (x - 20) = - x$

$a_{5} = a_{4} - a_{3} = - x - ( - 20) = 20 - x$

$a_{6} = a_{5} - a_{4} = (20 - x) - ( - x) = 20 = a_{0}$

$a_{7} = a_{6} - a_{5} = 20 - (20 - x) = x = a_{1}$

Như vậy, dãy số đã cho là một dãy số tuần hoàn với chu kỳ $T = 6$.

Tổng của $6$ số hạng trong một chu kỳ là:

$S_{6} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$

$S_{6} = 20 + x + (x - 20) + ( - 20) + ( - x) + (20 - x) = 0$.

Xét tổng đã cho trong giả thiết: $S = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{2024}$.

Từ số hạng $a_{0}$ đến số hạng $a_{2024}$ có tất cả 2025 số hạng.

Ta thực hiện phép chia: $2025 = 337 \cdot 6 + 3$.

Nghĩa là, tổng $S$ bao gồm 337 chu kỳ cộng thêm $3$ số hạng đầu tiên của chu kỳ tiếp theo:

$S = 337 \cdot S_{6} + (a_{2022} + a_{2023} + a_{2024})$.

Vì dãy có chu kỳ bằng $6$ nên $a_{2022} = a_{0} = 20$, $a_{2023} = a_{1} = x$ và $a_{2024} = a_{2} = x - 20$.

Do đó: $S = 337 \cdot 0 + 20 + x + (x - 20) = 2x$.

Theo giả thiết, $S = 2024$ nên ta có phương trình: $\left. 2x = 2024\Leftrightarrow x = 1012 \right.$.

Vậy $a_{1} = 1012$.

Thay $x = 1012$ vào biểu thức của $a_{2}$, ta được: $a_{2} = x - 20 = 1012 - 20 = 992$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.