(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống). Bạn Bình chọn ngẫu

Câu hỏi số 980228:

Vận dụng

$\dfrac{17}{63}$ $\dfrac{46}{63}$ $\dfrac{1}{5}$ $\dfrac{15}{63}$

(Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).

Bạn Bình chọn ngẫu nhiên ba ô vuông khác nhau A, B, C từ một lưới vuông $3 \times 3$. Xác suất để ô $C$ nằm bên trong hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là các ô $A$ và $B$ bằng

Đáp án đúng là: $\dfrac{17}{63}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:980228

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu: là số cách chọn ra 3 ô vuông có thứ tự A, B, C từ 9 ô vuông của lưới.

Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố: Phân chia các trường hợp dựa vào kích thước của hình chữ nhật tạo bởi hai đỉnh đối diện $A$ và $B$. Nếu hình chữ nhật có $k$ ô vuông, thì số cách chọn ô $C$ nằm bên trong hình chữ nhật đó và khác A, B là $k - 2$.

Tính xác suất bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và số phần tử của không gian mẫu.

Giải chi tiết

Lưới vuông $3 \times 3$ có tổng cộng $9$ ô vuông.

Số phần tử của không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên ba ô vuông khác nhau A, B, C có kể đến thứ tự là: $n(\Omega) = A_{9}^{3} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Gọi $X$ là biến cố: "ô $C$ nằm bên trong hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là các ô $A$ và $B$".

Ta xét các trường hợp kích thước của hình chữ nhật (tính theo số ô vuông) được tạo bởi hai đỉnh đối diện $A$ và $B$. Giả sử hình chữ nhật có $k$ ô vuông. Vì $C$ phải nằm trong hình chữ nhật này và khác A, B nên có $k - 2$ cách chọn $C$. (Chỉ xét các trường hợp $k \geq 3$).

Trường hợp 1: Hình chữ nhật kích thước $1 \times 3$ hoặc $3 \times 1$ (gồm $k = 3$ ô vuông).

Dạng $1 \times 3$ (nằm trên 1 hàng): Có 3 hàng, mỗi hàng có 2 cách chọn cặp $(A,B)$ ở hai đầu. Suy ra có $3 \times 2 = 6$ cặp.

Dạng $3 \times 1$ (nằm trên 1 cột): Có 3 cột, mỗi cột có 2 cách chọn cặp $(A,B)$ ở hai đầu. Suy ra có $3 \times 2 = 6$ cặp.

Tổng cộng có 12 cặp $(A,B)$. Với mỗi cặp có $3 - 2 = 1$ cách chọn $C$.

Số cách chọn thỏa mãn là: $12 \times 1 = 12$.

Trường hợp 2: Hình chữ nhật kích thước $2 \times 2$ (gồm $k = 4$ ô vuông).

Trên lưới có $4$ hình chữ nhật kích thước $2 \times 2$.

Trong mỗi hình chữ nhật, có 2 cặp đỉnh đối diện, mỗi cặp có thể hoán vị A, B nên có $2 \times 2 = 4$ cách chọn cặp $(A,B)$.

Tổng cộng có $4 \times 4 = 16$ cặp $(A,B)$. Với mỗi cặp có $4 - 2 = 2$ cách chọn $C$.

Số cách chọn thỏa mãn là: $16 \times 2 = 32$.

Trường hợp 3: Hình chữ nhật kích thước $2 \times 3$ hoặc $3 \times 2$ (gồm $k = 6$ ô vuông).

Dạng $2 \times 3$: Có 2 hình. Trong mỗi hình có $4$ cách chọn cặp $(A,B)$ đối diện. Suy ra có $2 \times 4 = 8$ cặp.

Dạng $3 \times 2$: Có 2 hình. Trong mỗi hình có $4$ cách chọn cặp $(A,B)$ đối diện. Suy ra có $2 \times 4 = 8$ cặp.

Tổng cộng có 16 cặp $(A,B)$. Với mỗi cặp có $6 - 2 = 4$ cách chọn $C$.

Số cách chọn thỏa mãn là: $16 \times 4 = 64$.

Trường hợp 4: Hình chữ nhật kích thước $3 \times 3$ (gồm $k = 9$ ô vuông).

Có $1$ hình chữ nhật $3 \times 3$ (là toàn bộ lưới).

Có $4$ cách chọn cặp $(A,B)$ là đỉnh đối diện.

Với mỗi cặp có $9 - 2 = 7$ cách chọn $C$.

Số cách chọn thỏa mãn là: $1 \times 4 \times 7 = 28$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $X$ là: $n(X) = 12 + 32 + 64 + 28 = 136$.

Xác suất cần tìm là: $P(X) = \dfrac{n(X)}{n(\Omega)} = \dfrac{136}{504} = \dfrac{17}{63}$.

Đáp án: $\dfrac{17}{63}$

Đáp án cần chọn là: $\dfrac{17}{63}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.